La differentielle seconde n'est que la differentielle appliquée une seconde fois. La differentielle d'un composé étant le composé des differentielles tu as la meme chose sur les differentielles secondes, ensuite c'est eventuellement une histoire d'identifications, mais géométriquement la differentielle seconde va de TTX dans TTY et la formule usuelle s'applique.

J'ai procédé ainsi.

Soient E, F et G trois e.v et U, V des ouverts des espaces E et F. On définit :



Par différentielle de composé :



Notons l'application :

Si on définit :



On a :

est bilinéaire.

Par différentielle de composée, on obtient :



est-ce que cela semble correct ? La composé de la différentielle seconde par la différentielle première me pose pas mal de problème étant donné qu'au niveau des espaces d'arrivés ça ne colle pas. Par suite si je bricole j'obtiens :

La forume que tu obtiens est correcte
Mais il y a des erreurs dans ce que tu as écrit, ecris proprement la differentielle de phi et psi (d'ailleurs phi est lui aussi un composé, tu devrais avoir 3 fonctions pour bien voir comme ca se passe).
Si comp est l'application de composition tu calcules avec et , ce qui doit donner la formule que tu écris.

Parfait, toujours un plaisir de recevoir ton aide. Je finis mes probas et je m'y mets.
Bonne journée

Pas de problème, en fait il faut quand meme réaliser que la differentielle seconde est un objet un peu "multi-forme" géométriquement (par exemple la hessienne d'une fonction sur une variété n'est définie qu'en un point critique).
Apres je sais pas ce que tu veux faire avec ta formule, mais je doute qu'elle ait un interet faramineux, si tu raisonnes géométriquement et que tu vois la differentielle df: TX->TY, alors c'est la fonctorialité de la differentielle qui fait "tout" (i.e le fait que d(fog)=dfodg), l'expression en coordonnées de la differentielle seconde à finalement assez peu d'interet.

En fait, le peu de chose que j'ai fait avec les différentielles est lié à un cours de topologie sur les E.V.N, la géométrie différentielle je ne verrais ça que l'année prochaine il me semble, c'est pour ça que j'ai un peu de mal à cerner la chose... Je m'entraîne juste à calculer des différentielles rapidement sans savoir réellement ce que c'est, car c'est ce qu'on va me demander pendant mes partiels. Néanmoins avec ces trois mois de vacances, j'aurai le temps d'approfondir ce sujet.

Par ailleurs, j'ai réussi à trouver la bonne formule du coup (j'étais parti du principe que la différentielle de F était égale à la différentielle de ses composantes )