Je reviens vers vous une dernière fois cette soirée avant de tomber dans les bras de Morphée. J'ai donc avancé, la démonstration n'est pas si compliquée que ça finalement, je me sens prêt à la refaire (je tenterai demain, à mémoire reposée). Néanmoins quelque chose me chagrine... Quand on calcule la différentielle première, on part d'abord d'une matrice inversible qui permettra de trouver que :



puis en passant à la comatrice :



et enfin par un argument de densité des matrices inversibles dans l'espace vectortiel des matrices et par la continuité de Trace, transposée, produit etc etc... on en déduit un prolongement par continuité à toutes les matrices. Maintenant pour la différentielle seconde et pour une matrice A inversible, on obtient :



et par la comatrice :



Pour moi, il restera du det(A) au dénominateur, ce qui pose un problème cette fois-ci si on veut effectuer un prolongement par continuité. Mais d'après la preuve, je cite :

"Cette expression qui n'est pas singulière en det(A)=0 se prolonge donc au cas où A n'est pas inversible (puisque det  est C∞) ." Pourriez-vous m'éclairer ? Merci (et bonne nuit au passage...).

Ben non tu ne peux pas avoir du determinant au denominateur vu que ta fonction est réulière sur Mn.

Bonjour Poncargues,

tout d'abord désolé pour le temps de réponse, ma connexion Internet est coupée et je ne peux communiquer que grâce à un partage de connexion 4G depuis mon portable. Je me suis mal exprimé : je demande s'il existe une forme de la différentielle seconde qui ne fait pas intervenir du determinant au dénominateur (comme ici si on développe) ? De toute manière, j'ai exprimé la forme quadratique, il faut encore que je polarise pour trouver la fbs.

Je comprend pas, si tu developpe tout, tu n'auras pas de dénominateur justement.
Je comprend pas ce que tu veux en plus.

Mais 1/det(A) est élevé au carré dans l'expression entre paranthèse, donc quand on va distribuer det(A) qui est en facteur il nous restera du det(A) au dénominateur ? ...

Ben non, vu qu'il va se compenser avec l'autre det(a). Tu as une expression algébrique que tu dérives, tu n'obtiendras rien au denominateur.

Quand je dis l'autre je parle de celui qui apparait en second dans cet expression

Dit autrement cette expression s'ecrit comme det(A)^-1(expression régulière en det(A))

Je n'arrive vraiment pas à comprendre...



=



par linéarité de la trace. Je ne vois pas où est la simplification...

Ben cette expression là est factorisable par det(A)

Je precise que j'ai pas vérifié tes calculs, donc je pars du principe qu'ils sont juste et cela implique en particulier que l'expression (vu comme un polynome en les coefficients de A à valeur dans les fonctions polynomiales sur Mn)  est factorisable par det(A)

M'oui d'accord je vois. La formule finale semble assez compliquée à écrire tout de même. Je vais tenter sur des exemples en dimension 2,3,4....
Merci pour votre patience et votre aide.
Bonne journée.