Dans votre question, vous écrivez : "k un réel donné"
Qu'est-ce que c'est que ce k qui tombe comme un cheveu dans la soupe ?
Il n'y a pas de k dans l'équation...
Enfin, si c'est la bonne équation, vous la résolverez sans aucune difficulté en passant en coordonnées polaires.
Ainsi, vous pourrez vérifier si ce que j'ai trouvé est bon (formule suivante):

je me suis trompée, il n'y a pas de k dans cet exercice
merci mais par contre je vois pas trop comment vous trouvez ca
merci

Les coordonnées polaires :
x = r*cos(t)
y = r*sin(t)
sont reportées dans l'équation qui, ensuite, ne contient plus que les variables r et t. Des simplifications apparaissent alors évidentes, permettant de trouver facilement les solutions, fonctions de r et t. Il est finalement aisé de revenir aux fonctions de x et y.

il y a une petite erreur dans la formule de f(x,y) qui a été donnée.
Vous vous en appercevrez en faisant le calcul
.

bonjour JJa

Je cherche cet énoncé et ne comprends pas quelquechose :

ici f(x,y) est fonction des deux variables x et y

Ces variables sont, si j'ai bien compris, indépendantes

or, le fait d'écrire x=rcost et y =rsint les rend dépendantes selon : x²(t)+y²(t)=r²

C'est cette dépendance que je ne saisis pas : peux-tu m'éclairer ou m'indiquer des liens pour mieux comprendre ?

Merci à l'avance

Philoux

Bonjour philoux

r est aussi une variable.
En effet, on passe des coordonnées aux coordonnées
kaiser

merci kaiser

donc x et y sont sur des cercles de rayon variable, décrivant ainsi le plan ?

Comment, après, dans l'équadiff, remplacer les f(x,y) en fonction de r,t ?

Merci

Philoux

On utilise les formules qui permettent de passer des coordonnées catésiennes aux coordonnées polaires.

Posons .

On sait que :


Ainsi, on a :


On n'a pas précisé le domaine dans lequel on résolvait l'équation. Je me place donc sur le plan privé de l'origine de sorte que r soit strictement positif.
On tombe donc sur l'équation suivante :

.

On déduit que

Par contre, je ne trouve pas exactement la même chose que JJa.

Kaiser

merci

je vais méditer...

Philoux

Mais je t'en prie !

Bonjour Kaiser,

ton résultat est correct.
( j'ai signalé qu'il y avait une erreur d'écriture dans ma formule, sans préciser, car il était facile de voir que le 1/2 devant racine(x²+y²) devait être supprimé )
Pour revenir à f(x,y), si tu remplaces dans ta formule :
- d'une part r par racine(x²+y²)
- d'autre part théta par arctg(y/x) ta fonction arbitraire g() devient une fonction de (y/x)
donc la même formule que moi.

Bonjour JJa

Oui, c'est vrai, je m'en suis rendu compte après coup. Je pense qu'il faut aussi préciser le domaines sur lequel on résout l'équation. En effet, la formulation que tu proposes implique que l'on doit se placer sur les ouverts connexes disjoints et sur lesquels la fonction g n'est pas forcément la même.
En faisant mes petits calculs, j'arrive à définir une solution sur l'ouvert connexe .
Je trouve (je sais, c'est très moche !)


Kaiser

Je ne suis pas certain que cette restriction sur la forme de la fonction s'impose, dans la mesure où la fonction g() est quelconque, avec la seule condition de dérivabilité.
Prenons un contre-exemple:
soit la fonction g(t) = 1/(t²+1)  avec t=y/x
Si on calcule des dérivées partielles df/dx et df/dy avec cette fonction, en les reportant dans l'équation du départ, on constate que l'équation est bien satisfaite, donc que c'est bien une solution.
Pourtant cette fonction g() n'est pas de la forme g(y/(x+racine(x²+y²))
.
Autre exemple: la fonction g(x,y) = exp(-(y/x)²) conduit aussi à une solution viable pour l'EDP.
On peut trouver beaucoup d'autres exemples. Est-ce que je divague ?

Justement si, ta formulation rejoint un peu la mienne lorsque l'on se place sur un des ouverts.

Prenons par exemple x>0, alors :


Avec

Avec une étude de fonction, on se rend compte que cette application est bijective.

Kaiser

Bonjour,

je suis bien d'accord que les fonctions de la forme :
g(y/(x+racine(x²+y²))
font partie de l'ensemble des fonctions de la forme plus générale Phi(y/x). C'est évident.
Ce n'est pas ce que je voulais dire.
Je faisais simplement remarquer que d'autres fonctions Phi(y/x) de forme différente de g(y/(x+racine(x²+y²)) conduissent tout aussi bien à des solutions viables pour l'EDP. Je ne vois donc pas où est l'intérêt de la restriction proposée.
Par exemple, dans le cas :  g(y/x) = exp(-(y/x)²), qui est viable, je ne vois pas l'intérêt de présenter cette fonction avec une variable de la forme u/(1+racine(1+u²)), ce qui compliquerait inutilement.
Mais peut-être n'ai-je pas bien compris ton objectif lorsque tu proposes ces transformations.
Cordialement,
JJ

En fait, voici comment je vois les choses :

Les solutions que tu trouve sont les fonctions définies sur par :

où h et g sont des fonctions de classe


Les solutions que je trouve sont les fonctions définies sur par :



Kaiser

non, ce n'est pas ce que je trouve. Je trouve beaucoup de fonctions g(y/x) ou g(x/y) dont il n'y a pas lieu d'éliminer le x=0 ou le y=0, ni de distinger comme cas différents les x<0 et les x>0, ou les y<0 et les y>0, fonctions qui sont, ou qui ne sont pas, de la forme proposée plus restrictive.
Mais on ne va pas en discuter éternellement.
Pour moi, je sujet est clos.
Ceci très cordialement, bien entendu !

L'occasion est trop belle pour ne pas réfléchir sur ces questions, qui  somme toute, ne prètent à discussion que pour des raisons de formalisme.
C'est un peu, toutes proportions gardées, comme dans le cas des équations de droites y=ax+b et que l'on argue que le cas du coefficient directeur infini ferait que les droites pll à l'axe des ordonnées ne seraient pas de même nature que les autres droites !
En fait, le vrai problème est de trouver les solutions d'une EDP sans en oublier quelques unes. Tout apparait clair lorsqu'on résout l'équation en coordonnées polaires, ce qui est encore plus simple qu'en coordonnées cartésiennes.