Hello,

J'aurai tendance à penser qu'il n'y a pas équivalence car une fonction définie sur R^n peut avoir des dérivées partielles suivant toutes les variables sans être différentiable.
Or si df/dx1, df/dx2, ...,df/dxn existent f est différentiable dans toutes les directions me semble-t-il.

salut,

alors c'est l'implication => qui est toujours vrai.
en effet, f admet en a des dérivées dans toutes les directions signifie que la fonction est dérivable en 0
cad

on montre alors que si f est diff. en 0, ceci est vrai.

ok,
alors il y auarait seuelment l'implication réciproque?
ça se démontre?
Merci Bluberry!

Ok H,ça c'est justement la définition d'une dérivée directionnelele en un point a.

Mais la réciproque serait fausse?
si on est dérivable dans toutes les directions en un point,on est pas forcément différentiable en ce point??

*que si f est diff. en a.

d'ailleurs il suffit de l'écrire : f(a+th)=f(a)+Df(a).th+o(||h||)=f(a)+t[Df(a).h]+o(||h||)
donc f(a+th)-f(a)=t[Df(a).h]+o(||h||)

en divisant par t, on obtient le résultat.

ok je veux bien que ce soit correct mais as tu un exemple qui le montre??
Concretement?

y'en a dans les tds

f(x,y)
=xy/(x^2+y^2) ailleurs
=0 si(x,y)=(0,0)

déjà elle n'est pas continue en (0,0) car f(x,x)=1/2 qui ne tend pas vers 0.
donc elle n'est pas diff. en (0,0)

reste à montrer qu'elle admet quand même en (0,0) des dérivées dans toutes les directions.

on regarde l'application pour et la dérivabilité de cette application en 0

on étudie



C'est ça?

en bas de ton quotient il y a du ^3 je pense.
mais c'est bien ça.

Ok merci!!

ok mais je pense qu'il faudra quand même distinguer le cas h=0 car pour que cette limite soit effectivement finie, il faut que le quotient ne s'annule pas !

mais ici c'est pas grave, si h=0, la fonction est identiquement nulle.

Ok!
C'était juste histoire d'avoir un exemple sous la main au cas ou...
C'est toujours utile