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Digicode 12 caractères 10 chiffres 2 lettres - rassurez moi !

Posté par
vivelatv 13-04-14 à 17:29

Bonjour

Exercice de proba suis-je sur la bonne voie ?

Il y a un digicode dont le clavier comporte 12 caractères: soit 10 chiffres (0 à 9) et deux lettres. Les codes sont composés de 4 caractères choisi parmi les 12. Un même caractère peut apparaitre plusieurs fois. L'ordre des caractères est pris en compte.
Une machine génère les codes en choisissant les codes de manière équiprobable.

1) combien de code peut-on former ? 12^4

2) quelle est la probabilité que le code soit formé de 4 chiffres pairs ? Il y a 5 chiffres pairs (0, 2, 4, 6, 8) \rightarrow \text{ proba code 4 chiffres pairs} = \frac{5^4}{12^4}

3) Quelle est la probabilité que le code soit formé de quatre chiffres différents ? \text{ proba code 4 chiffres différents} = \frac{A_{10}^4}{12^4}

4) Quelle est la probabilité que le code soit formé de quatre chiffres différents  sachant que ces
chiffres sont pairs ? \text{ proba code 4 chiffres différents pairs} = \frac{A_{5}^4}{12^4}

5) Les événements :
U =le code contient 2 lettres et 2 chiffres et les deux lettres sont identiques
V =le code contient 2 lettres et 2 chiffres et les deux chiffres sont identiques
sont-ils indépendant ?
En probabilité deux événements U et V indépendants \Rightarrow p(U \cap V)=p(U)+p(V) \text{ si } U \cap V = \varnothing
Soit U contient 2 lettres et 2 chiffres et les deux lettres sont identiques mais comme le code du digicode admet les répétitions de caractères les deux chiffres peuvent également être identiques (ex : AA11).
Soit V contient 2 lettres et 2 chiffres et les deux chiffres sont identiques mais comme le code du digicode admet les répétitions de caractères les deux lettres peuvent également être identiques (ex : AA11).

Donc nous avons U \cap V \neq \varnothing les deux événements U et V ne sont donc pas indépendant.

Je pense être juste sur les 4 premières questions et ai besoin de votre confirmation pour la cinquième.

Merci

Posté par
verdurinre : Digicode 12 caractères 10 chiffres 2 lettres - rassurez moi 13-04-14 à 17:35

Bonjour,
ta réponse à la cinquième question est fausse : tu confonds événements indépendants et événements incompatibles.

U et V sont indépendants ssi P(UV)=P(U)P(V)

Posté par
vivelatvre : Digicode 12 caractères 10 chiffres 2 lettres - rassurez moi 13-04-14 à 17:49

oui, tu as raison U et V sont incompatible \Rightarrow p(U \cup V)=p(U)+p(V) \text{ si } U \cap V = \varnothing

Posté par
verdurinre : Digicode 12 caractères 10 chiffres 2 lettres - rassurez moi 13-04-14 à 17:57

Ce que tu viens d'écrire n'a pas beaucoup de sens : il y a trop d'implication et de si.

Il reste à savoir si U et V sont indépendants.
À vu de nez je dirais oui, mais il faut le démontrer.
Une relation utile : si U et V ne sont pas de probabilité nulle ils sont indépendants ssi P(U|V)=P(U)

Posté par
carpediemre : Digicode 12 caractères 10 chiffres 2 lettres - rassurez moi 13-04-14 à 18:22

salut

il est tout de même assez aisé de calculer les probabilités de U, V et leur intersection ....

Posté par
vivelatvre : Digicode 12 caractères 10 chiffres 2 lettres - rassurez moi 13-04-14 à 19:07

U contient 2 lettres et 2 chiffres et les deux lettres sont identiques:
Donc pour le cardinal de U : - 2 possibilités pour les lettres  soit A ou soit B
                             -  C_4^2 combinaisons possibles pour les lettres
                             -  10^2 arrangements possible avec répétition pour les chiffres
d'où p(U)= \frac{2*C_4^2*10^2}{12^4}=\frac{2*6*10^2}{12^4}=\frac{100}{12^3}

V contient 2 lettres et 2 chiffres et les deux chiffres sont identiques :
Donc cardinal de V :  - 10 possibilités pour les couples de chiffres de 0 à 9
                      -  C_4^2 combinaisons possibles pour les couples de chiffres
                      -  2^2 arrangements possible avec répétition pour les lettres

d'où p(V)= \frac{10*C_4^2*2^2}{12^4}=\frac{10*6*2^2}{12^4}=\frac{20}{12^3}

|U \cap V| : correspond à 2 lettres identiques et 2 chiffres identiques donc

                       - 2 possibilités pour les lettres  soit A ou soit B
                       - 10 possibilités pour les couples de chiffres  de 0 à 9
                       -  C_4^2 combinaisons possibles pour les lettres ou les chiffres
                       - 1 possiblité pour les deux chiffres identiques ou les deux lettres

d'où p(U \cap V)= \frac{2*10*C_4^2}{12^4}=\frac{2*10*6}{12^4}=\frac{10}{12^3}


Nous avons donc p(U \cap V) \neq p(U)*p(V) donc U et V sont pas indépendant
                      

Posté par
verdurinre : Digicode 12 caractères 10 chiffres 2 lettres - rassurez moi 13-04-14 à 19:13

C'est bon.

Posté par
vivelatvre : Digicode 12 caractères 10 chiffres 2 lettres - rassurez moi 13-04-14 à 22:44

merci


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