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Dim intersection hyperplans
Bonjour,
Soit E un K ev de dimension n.
La dimension de l'intersection de p hyperplans de E est supérieur ou égal à (n-p).
Ceci se prouve assez bien si on part de la définition de l'hyperplan suivante :
H est un hyperplan si il existe une forme linéaire phie de E dans K tel que H = Ker phie.
En partant de la puis en utilisant le théorème du rang on démontre le résultat, sans récurrence, de manière assez directe.
Mais j'ai voulu démontrer ce résultat en utilisant une autre def de l'hyperplan : H est un hyperplan de E si et seulement si H est de dimension n-1. Je veux démontrer ce résultat sans utiliser de forme linéaire. Je voulais le faire par récurence.
Pour l'hérédité il faudrait démontrer que si F est de dim d, H de dim n-1 alors dim (F 
H) >= d-1.
Ça m'avait pas l'air compliqué...
Mais entait beinn j'arrive pas. Quand je demande à chatgpt il me raconte n'importe quoi.
Voila le début de mon raisonnement :
Si F est inclus dans H alors dim (F H) = dim F >=d>=d-1 ok;
Si F n'est pas inclus dans H alors il existe v appartenant à F mais pas à H.
On pose F' le supplémentaire de K*v dans F
Ainsi on a : (1) F = F' 
K*v.
De même, on montre que : (2) E = (K*v) H.
Mon objectif serait de montrer que (F H) = F'. Ainsi on aurait dim (F H) = dim F' = dim F - 1 en utilisant (1).
Je voudrais donc montrer que:
(F' K*v) H =F'
Mais j'arrive pas ...
Quelqu'un pourrait m'aider, ou me donner une démo sans utiliser les formes linéaires, en faisant une récurence. J'aimerai vraiment.
Une seconde piste que j'ai eu est la suivante:
Je veux toujours démontré la chose suivante:
Si F est un sev de E de dimension d, H un hyperplan de E, alors dim F H 
d-1.
De la même manière si F
H c'est trivial.
Sinon,
soit (f1,...,fd) une base de F, il existe un vecteur de la base qui n'appartient pas à H.
Disons que c'est f1.
Supposons qu'il existe un second vecteur de la base tel que ce vecteur n'appartient pas à H.
Disons que c'est f2.
L'objectif serait de montrer que c'est absurde. Ainsi on aurait
Vect (f2,...fd) H et donc dim (Vect (f2,...fd)H)= dim (Vect (f2,...fd)=d-1.
Donc supposons qu'on ait f1 et f2 une famille libre de F tel que vect (f1) non inclus dans H et vect(f2) non inclus dans H.
Soit (h1,h2,...h(n-1)) une base de H j'aimerais montrer que (h1,h2,...h(n-1),f1,f2) est libre, ce qui serait alors absurde, car on aurait une famille libre de E de n+1 vecteurs alors que E est de dimension n.
De même j'arrive pas ...
Salut,
il faut oublier ChatGPT pour ce genre de raisonnement, ça ne peut te faire que du mal. Tu peux te rappeler que, si E et F sont des sous-espaces vectoriels de V, alors
.
Bonsoir
Je réponds à la question du dernier message :
soit (f1,...,fd) une base de F, il existe un vecteur de la base qui n'appartient pas à H.
Disons que c'est f1.
Supposons qu'il existe un second vecteur de la base tel que ce vecteur n'appartient pas à H.
Disons que c'est f2.
On voit tout de suite que c'est absurde avec le theorème d'extraction de base
Il suffit d'extraire une base de H, qui aura alors n-1 éléments. On choisit f1 comme étant le vecteur qu'on a éliminé. Comme le reste forme une base de H, il est impossible qu'un autre vecteur n'appartienne pas à H
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