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Dimension d'espaces vectoriels
Bonjour,
J'ai besoin de votre aide pour cet exercice.
Énoncé : Les espaces vectoriels suivants sont-ils de dimension finie ?
a) fonctions paires sur R
b) suites périodiques
c) suites périodiques de période 5
d) suites de Fibonacci
e) solution d'un système linéaire (que je ne recopie pas ici)
La seule réponse qui me manque est la c)
Je met tout de même les autres.
Réponse a : on sait que la famille infinie des x -> x^k pour k entier naturel est libre. La famille infinie des x -> x^(2k) est inclue dans la première donc est aussi libre (les scalaires sont les mêmes). L'ensemble qui contient les vecteurs de la seconde famille est une partie infinie et libre de l'espace des fonctions paires sur R donc cet espace a une dimension infinie.
Réponse b : je conjecture que l'espace du c) a une dimension infinie, or ce dernier est inclue dans celui-ci donc celui-ci a aussi une dimension infinie.
Réponse c : (conjecture) l'espace a une dimension infinie. (Pour le montrer, on peut trouver une partie libre et infinie)
Réponse d : voir https://www.ilemaths.net/sujet-suite-de-fibonacci-espace-vectoriel-et-isomorphisme-269433.html
Réponse e : l'espace d'un système linéaire est un sous espace vectoriel de K^n. Or, K^n est de dimension finie n.
Merci d'avance 
Pour qu'il n'y ait pas de confusion je précise que pour la 5) les solutions du système linéaire sont ainsi faites. Donc j'aurais du écrire "l'espace DU système linéaire" plutôt que "l'espace d'un ...".
Je n'ai pas trouvé comment éditer mon ancien message.
Bonsoir Guyome,
Pour la question c) je dirais qu'une suite de période 5 peut être définie par 5 valeurs. C'est donc un ev isomorphe à R^5.
Ce résultat (s'il est juste, je peux me tromper) annule ta réponse pour le b)
Cependant la réponse me semble juste, l'espace b) est de dimension infini. Comment le montrer je ne sais pas trop, j'y réfléchis.
Le reste me semble juste 
(PS : on ne peut pas éditer les messages).
Re,
En fin de compte, ma conjecture est une erreur dans le livre. Il en a tellement peu que j'ai pas cherché à douter 
Pour la c) bien sûr que la dimension est 5 puisque la base
(1,0,0,0,0,1,...)
(0,1,0,0,0,0,1...)
(0,0,1,0,0,0,0,1...)
(0,0,0,1,0,0,0,0,1...)
(0,0,0,0,1,0,0,0,0,1...)
est clairement génératrice minimale.
Pour la b), je pense qu'il est bien de dimension infinie, mais j'ai pas de preuve formelle si ce n'est :
Les espaces vectoriels des suites p-périodique est inclue dedans. Or, l'espace vectoriel des suites p-périodique est de dimension finie p. Or, comme dans cet espace p dans N* n'est pas fixé, l'espace est de dimension infinie.
Autres choses ?
comme dans cet espace p dans N* n'est pas fixé, l'espace est de dimension infinie.
Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire.
J'avais une idée un peu similaire à la tienne (si je comprend bien ton idée), mais qui me semble intuitive et non rigoureuse :
L'ensemble des suites p-périodique est comme tu le dis inclus dans l'ensemble dont on cherche la dimension.
Or si une suite est p-périodique, elle est également 2p-périodique, mais si l'on considère p premier alors tous les espaces des suites p-périodiques seront disjoints, et l'espace b) est intuitivement (donc peu rigoureux) l'union de tous ces espaces. Or la somme de tous les nombres premiers, "c'est l'infini".
Une façon peut être plus rigoureuse de le présenter est de revenir à la définition d'espace de dimension infini : n'admet pas de famille génératrice fini.
Alors soit Bp une base de l'espace des suites p-périodique (p premier), comme tous ces espaces sont disjoints, p=p' => Bp n'a aucun vecteur en commun avec Bp'.
Alors pour obtenir une base de l'espace b), il faudrait concaténer toutes les base Bp pour p premier, ce qui donne une famille infinie.
C'est peut être mieux comme ça, mais je trouve que ça reste un peu du "on voit bien que". (autrement dit : "ça doit être vrai parce que je vois pas comment ça peut être faux", mon prof avait beaucoup d'humour cette année
)Tu peux aussi trouver une famille libre de cardinal infini:
Pour p entier premier fixé, up est définie par up(n)=1 si n est un multiple de p, 0 sinon.
L'autre solution marche aussi : comme l'indique le message de Guyome (dont je reprends l'argumentation), il existe des familles libres de cardinal aussi grand qu'on veut (une base du sous espace des suites n-périodiques en est une de cardinal n).
Donc les familles de l'espace ne sont pas toute majorées par un unique entier naturel N : ceci prouve également que l'espace en question est de dimension infinie.
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