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dimension d un espace vectoriel

Posté par mika9899 (invité) 04-03-05 à 23:33

Soit V un espace vectoriel sur un corps K et soient A, B , C des sous-espaces fini-dimensionnels de V.

a) Montrer que dim(A+B+C)dimA+dimB+dimC
b)Trouver une condition néc. et suffisante pour qu'on ait une égalité pour a)
c) Montrer dim(A+B+C)dimA+dimB+dimC-2dim(ABC)

*** message déplacé ***

Posté par
Nightmare
re : dimension d un espace vectoriel 04-03-05 à 23:37

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q04 - Où dois-je poster une nouvelle question ?

Posté par mika9899 (invité)re : aidé moi SVP exo physique important merci 04-03-05 à 23:37

Soit V un espace vectoriel sur un corps K et soient A, B , C des sous-espaces fini-dimensionnels de V.

a) Montrer que dim(A+B+C)dimA+dimB+dimC
b)Trouver une condition néc. et suffisante pour qu'on ait une égalité pour a)
c) Montrer dim(A+B+C)dimA+dimB+dimC-2dim(ABC)


Merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par mika9899 (invité)Dimension espace vectoriel 04-03-05 à 23:48

Soit V un espace vectoriel sur un corps K et soient A, B , C des sous-espaces fini-dimensionnels de V.

a) Montrer que dim(A+B+C)dimA+dimB+dimC
b)Trouver une condition néc. et suffisante pour qu'on ait une égalité pour a)
c) Montrer dim(A+B+C)dimA+dimB+dimC-2dim(ABC)

Merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par
Nightmare
re : dimension d un espace vectoriel 04-03-05 à 23:48

Re

As-tu essayé avec :

dim(A+B+C)=dim(A+B)+dim(C)+dim[(A+B)\cap C]

Tu devrais y arriver avec ça


Jord

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 04-03-05 à 23:50

Je vais essayer, mais d'oú vient cette formule?

Posté par
Nightmare
re : dimension d un espace vectoriel 04-03-05 à 23:52

De ton cours normalement .

Sinon on peut la démontrer , si tu souhaites la démonstration tu peux me la demander


Jord

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 04-03-05 à 23:54

Si tu veux bien, je ne pense pas de la connaître.

Posté par
Nightmare
re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 00:05

Bonjour alors .

Nous savons que \rm F\cap G admet au moins un supplémentaire F' dans F .

1) Montrons que F' et G sont en somme directe et que \rm F'\oplus G=F+G .
a) \rm F'\subset F d'où F'\cap G=\(F'\cap F\)\cap G=F'\cap\(F\cap G\)=\{0\}
b) \rm F+G=\(F'+\(F\cap G\)\)+G=F'+\(\(F\cap G\)+G\)=F'+G
2) D'aprés la proposition :
\red\rm\fbox{Soient E un K-ev de dimension finie, F , G deux sev de E en somme directe . On a alors : \\dim\(F\oplu G\)=dim(F)+dim(G)}
on obtient :
\rm\{{dim\(F+G\)=dim\(F'\oplus G\)=dim(F')+dim(G)\\dim(F)=dim\(F'\oplus\(F\cap G\)\)=dim(F')+dim\(F\cap G\)

d'où la relation voulue


jord

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 00:05

Non, je n'y arrive pas.
Est-ce que tu me peux donner la démonstration s'il te plaît.
Merci

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 00:06

Ok Merci beaucoup

Posté par
Nightmare
re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 00:08

De rien

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 00:09

Encore une question:

Qu'est-ce que tu entends par "un supplémentaire de F"?

Posté par
Nightmare
re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 00:15

Re

deux sev A et B d'un K-ev E sont dits supplémentaires dans E si et ssi :
\rm A\cap B=\{0\}  et  A+B=E

Ceci revient à dire que A et B sont en somme directe et A\oplus B=E


Jord

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 00:19

Je vous remercie.

Posté par
Nightmare
re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 00:20

De rien


jord

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 00:45

Comment pourrait-on généraliser ces inégalités et égalités au cas oú on a n sous-espaces fini-dimensionnels???

Posté par
Nightmare
re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 01:28

Bonjour

aprés recherche j'ai trouvé :

\forall n\ge 1 :

4$\rm\fbox{dim\(A_{0}+A_{1}+...+A_{n}\)=\[\displaystyle\sum_{k=0}^{n} dim\(A_{k}\)\]-\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} dim\[\(\displaystyle\sum_{i=0}^{k} A_{i}\)\cap A_{n+k}\]}

à verifier


Jord

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 09:53

Bonjour,

Ok, je vais essayer de la vérifier.


Merci.

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 15:29

Mais comment peut-on montrer l'inégalité demandée sous a) et c) ????

Posté par
Nightmare
re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 17:02

Re

Tu as :
dim(A+B+C)=dim(A)+dim(B)+dim(C)-dim\[(A+B)\cap C\]-dim\(A\cap B\)

Or , -dim\[(A+B)\cap C\]-dim\(A\cap B\)\le 0 pour tout sev A B et C
donc :
dim(A)+dim(B)+dim(C)-dim\[(A+B)\cap C\]-dim\(A\cap B\)\le dim(A)+dim(B)+dim(C)
soit
dim(A+B+C)\le dim(A)+dim(B)+dim(C)


Jord

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 19:15

Merci

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 05-03-05 à 19:19

Pourquoi a-t-on sous c) -2dim(ABC) ??

Posté par
Nightmare
re : dimension d un espace vectoriel 06-03-05 à 00:31

Re

pourquoi "pourquoi" ?
On te demande de le démontrer ...

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 06-03-05 à 01:38

Salut,
J'ai encore un petit problème, cad que je ne vois pas très bien la formule que tu m'a donnée : dim(A+B+C)=dim(a)+dim(B)+dim(C)-...
(posté 05/03/2005 à 17:02).

Comment serait la formule pour 2 ss-espaces?

Posté par
Nightmare
re : dimension d un espace vectoriel 06-03-05 à 02:02

re

\rm dim(A+B)=dim(A)+dim(B)-dim(A\cap B)

(c'est celle que j'ai démontré dans mon 3éme post)


Jord

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 06-03-05 à 02:14

OK, cela je connais!

Et comment est-ce que je calcule maintenant dim[(A+B)C]?

Car je suis entrain de démontrer le b)

Posté par
Nightmare
re : dimension d un espace vectoriel 06-03-05 à 02:29

Re

peut-être en écrivant :
\rm dim[(A+B)\cap C]=dim[A\cap C+B\cap C]


jord

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 06-03-05 à 02:36

Oui, et alors dim[(AC)(BC)] = 0, non?

Comme [(AC)(BC)=

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 06-03-05 à 14:23

Je ne suis quand même pas sûr!!

Est-ce comme ca??

Posté par
Nightmare
re : dimension d un espace vectoriel 06-03-05 à 14:47

euh , pourquoi aurait-on A\cap B\cap B\cap C=\empty

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 06-03-05 à 15:12

Donc, ca vaut simplement  ABC??

Posté par
Nightmare
re : dimension d un espace vectoriel 06-03-05 à 15:20

Oui , les sev sont idempotent pour \cap, soit B\cap B=B


Jord

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 06-03-05 à 15:39

Oui, je vois bien, mais quelle est alors la condition demandée pour b), qu'on obtient?

Est-ce peut-être (A+B)C=A)B???

Posté par mika9899 (invité)re : dimension d un espace vectoriel 06-03-05 à 15:42

´Je me demande aussi si on peut laisser de côté dim des 2 côtés du signe d´égalité pour obtenir la condition pour b) sans les dim???



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