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Dimension d'un sous-espace vectoriel de Kn[X]
Bonjour à tous !
J'ai un DM de maths pour le 19 Septembre, et j'ai déjà une petite question en ce qui concerne le début ..
Voici l'énoncé :
"Dans tout le problème, K désigne R ou C.
K[X] désigne l'algèbre des polynômes à coefficients dans K, et, si n est un entier, Kn[X] désigne le sous-espace vectoriel de K[X] formé des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
On dira qu'un endomorphisme u de K[X] vérifie la condition (D) si :
u(P) = 0 si P est constant
deg(u(P)) = deg(P)-1 sinon
PARTIE A
Soit u un endomorphisme de K[X] vérifiant la condition (D).
1. Déterminer Ker(u) et Im(u).
2. Soit n ∈ N*, et En = ( P ∈ Kn[X], P(0)=0 )
a) Montrer que En est un sous-espace vectoriel de Kn[X]. Quelle est sa dimension?"
Voilà pour le début.
Pour la 1. j'ai trouvé que Ker(u) était l'ensemble des polynômes constants et que Im(u) était K[X] tout entier.
Pour la 2.a), j'ai pu montrer facilement que En était un sev. Pour la dimension, comme tout les polynômes ne contenant pas de terme constant de Kn[X] respectent la condition P(0)=0, qu'aucun des polynômes constants ne la respecte, et que dim(Kn[X]) = n+1, j'en déduis que dim(En) est de dimension n car on retire tout les polynômes de degré 0 ...
Je ne suis pas sur de mes réponses (en particulier à la 2.a), la rentrée a été difficile et j'ai donc besoin de votre aide ..
Merci à tous,
édit Océane
Bonjour,
Pour la 2 a : Pourrais tu donner une base de K3[X](la base canonique étant souvent efficace)? Je pense que ca t'aidera à voir si tu as raison ou non. 
Pour avoir la dimension de En tu peux
.soit trouver une base de En
.soit utiliser le théorème qui donne , u étant linéaire de E vers F , une relation entre dim(Im(u)) , dim(E) et dim(Ker(u)) .
Merci pour vos réponses !
Une base de En est par ex (X, ... ,X^n) ce qui me donne bien de la dimension n merci !
Pour les premières questions avez vous trouvez des erreurs ?
Merci !
Je n'ai pas encore rédigé donc je ne l'ai pas encore vraiment montré mais ça me semble logique..
Quand on applique u à un polynôme de degré n, son degré devient n-1 mais il appartiendra toujours à K[X], comme toutes les autres images par u non ?
u va de K[X] dans K[X]. Cependant Im(u) ne peut pas être égal à K[X] étant donné que le degré diminue de 1. Le problème c'est que je ne sais pas comment l'écrire car K[X] est de dimension infinie .. Dire que Im(u)=Kn-1[X] serai faux non ?
"Soit A et B deux ensembles. Une fonction f définie sur A est une bijection de A sur B si et seulement si tout élément de A a une image unique dans B et si tout élément de B a un antécédent unique dans A."
Voilà pour la définition rigoureuse, désolé.
Et rien a priori n'empêche un polynôme de degré d'être une image dont l'antécédents serai de degré n+1 c'est vrai. Mais quelque chose me perturbe quand même 
Comment prouver alors que K[X] est inclu dans Im u ? J'ai l'impression que c'est très facile et que je cherce trop loin ..
L'image d'un élément par une fonction est toujours unique, non ?
Sinon, tu peux regarder l'image de la base canonique de K[X] par u.
Tout de suite comme ça, si on fixe P dans K[X], ça me paraît compliqué de trouver un antécédent par u de P.
En revanche que dire de ?
en principe, pour dire qu'une relation f entre deux ensembles A et B est une fonction, il faut que chaque élément x de l'ensemble de départ soit en relation avec au maximum un élément de l'ensemble d'arrivée, qu'on notera alors f(x) et qu'on appellera image de x par f. Si chaque élément de l'ensemble de départ est en relation avec exactement un élément de l'ensemble d'arrivée, on parle d'application (la restriction d'une fonction à son ensemble de définition devient une application, la fonction inverse de R dans R est une fonction, de R* dans R elle devient une application, non surjective)
et ensuite, les notions d'injection, surjection, bijection sont liées au nombre d'antécédents éventuels des éléments de l'ensemble d'arrivée.
Merci lafol pour le rappel, c'était pourtant clair dans mon esprit mais je me mélange un peu les pinceaux ...
Oui on a effectivement , mais il faut plus détailler, surtout qu'on est au début du devoir et donc une rédaction complète est attendue pour chaque question.
Je pense qu'une façon assez simple de justifier cela est de voir à quoi est égal et remarquer que
.
Ou alors (mais c'est la même chose), toujours dans l'optique de montrer l'inclusion réciproque, fixer et se débrouiller avec la famille
.
Il y a donc , dans K , des an,k ( n , k entiers et 0 
k < n ) tels que
u(1) = 0 .
u(X) = a1,0 et a1,0 
0
u(X²) = a2,0 + a2,1X et a2,1 0
....
....
u(Xn) = an,0 + an,1X +.....+ an,n-1Xn et an,n-1 0
On voit donc que pour tout n entier > 0 on a : u(Kn[X]) 
Kn-1[X]
Pour montrer que , pour tout n entier > 0 , Kn-1[X] est contenu dans u(Kn[X]) tu peux par exemple montrer par récurrence que pour tout n 
existent bn,0 , ...., bn,n+1 dan K tels que Xn = bn,1u(X) +....+ bn,n+1u(Xn+1)
(ou relire ce que j'ai posté le 03-09-14 à 19:58 en considérant , pour chaque n > 0 , un : Kn[X] 
Kn-1[X] , P 
u(P))
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