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Dimension d'une matrice

Posté par
Skops 26-04-08 à 10:43

Bonjour,

Soit 5$\sc{M}_{n,p}(\mathbb{K}), l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans 4$\mathbb{R} ou 4$\mathbb{C}

Dans le cours, on a marqué que 5$\fbox{dim(\sc{M}_{n,p}(\mathbb{K}))=n\times p}

Mais si je prends une matrice diagonale supérieure par exemple, on a 5$dim(\scr{M}_n(\mathbb{K}))=\frac{n(n+1)}{2} et non pas 5$n^2 comme il semblait en découler d'après la formule du cours.

La formule encadré ci dessus à t'elle des conditions pour être valable ?

Autre exemple :

5$\(22\\31\)=2\(11\\00\)+3\(00\\10\)+\(00\\01\)
Donc la dimension de la matrice serait 3 et non 4

Merci de m'éclairer

Skops

Posté par
disdrometrere : Dimension d'une matrice 26-04-08 à 10:58

salut

on dit qu'une matrice est une matrice triangulaire supérieure  et non diagonale supérieure.

la dimension est pour un espace et non pour une matrice.

une des bases des matrices 2x2

est
10
00

01
00

00
10

00
01

voilà

Posté par
Skopsre : Dimension d'une matrice 26-04-08 à 11:08

salut disdrometre

Citation :
la dimension est pour un espace et non pour une matrice.


1) Qu'est ce que je dois dire pour la "dimension d'une matrice" ?

2) Pour la matrice triangulaire supérieur, pourquoi la formule ne fonctionne pas ?

3) dans ma décomposition, mes matrices ne forment pas une base car la famille n'est pas génératrice ?

Skops

Posté par
soucoure : Dimension d'une matrice 26-04-08 à 11:12

C'est normal \mathcal{M_n}(\mathbb{C}) n'est pas l'ensemble des matrices triangulaires supérieures. De plus parler de dimension de matrice n'a aucun sens ! On parle de taille voire d'ordre.

On montre facilement que (E_{ij},i=[\![1,n]\!]\wedge j\in[\![1,i]\!]) est une base (avec le pivot de Gauss ) de \displaystyle\mahcal{T}_n(\mathbb{C}) de cardinal \sum_{k=0}^nk=... (attention les notations ne sont pas vraiment officielles).

Posté par
Skopsre : Dimension d'une matrice 26-04-08 à 11:15

Pourtant dans mon cours, j'ai bien l'encadré que j'ai mis

Ok pour les matrices triangulaires supérieurs

Par contre, j'ai pas vraiment compris tes formules

Skops

Posté par
soucoure : Dimension d'une matrice 26-04-08 à 11:17

Autre preuve sais tu que \displaystyle\mahcal{M}_n(\mathbb{C})=\mahcal{T}_n(\mathbb{C})\oplus\mahcal{A}_n(\mathbb{C})

Posté par
soucoure : Dimension d'une matrice 26-04-08 à 11:18

Arf, bon bref je voulais te demander si tu s'avais aussi ce qu'est une matrice élementaire ?

Posté par
Skopsre : Dimension d'une matrice 26-04-08 à 11:18

Oui

Skops

Posté par
Skopsre : Dimension d'une matrice 26-04-08 à 11:19

Aussi

Skops

Posté par
disdrometrere : Dimension d'une matrice 26-04-08 à 11:19

3) dans ma décomposition, mes matrices ne forment pas une base car la famille n'est pas génératrice ?

non

c'est une famille libre

la dimension de Mn(2,2)= 4 , il famille génératrice doit avoir au moins 4 éléments !



1) Qu'est ce que je dois dire pour la "dimension d'une matrice" ?

qu'est-ce que tu entends par là ?  le rang de la fonction linéaire associée ?

2) les matrices triangulaires supérieures 3x3 (TS(3,3)) sont de la forme

abc
0de
00f

alors une base de TS(3,3)

100
000
000

010
000
000

etc .. est formé de 6 éléments

donc dim(TS(3,3))=6

Posté par
Skopsre : Dimension d'une matrice 26-04-08 à 11:22

Ok

Skops

Posté par
soucoure : Dimension d'une matrice 26-04-08 à 11:23

Bon \displaystyle\mathcal{M}_n(\mathbb{C})=\mathcal{T}_n(\mathbb{C})\oplus\mathcal{A}_n(\mathbb{C}), c'est à dire d'après la formule de Grassman

\dim\mathcal{T}_n(\mathbb{C})+\dim\mathcal{A}_n(\mathbb{C})=n^2 tu es d'accord pour dire qu'il existe des matrices antisymétrique d'ordre n donc c'est absudre, finallement \dim\mathcal{T}_n(\mathbb{C})<n^2...

Posté par
Skopsre : Dimension d'une matrice 26-04-08 à 11:28

D'accord

Skops


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