Bonjour,
Géométrie différentielle et théorie des groupes ne sont pas incompatibles, c'est le tres importante théorie de groupes de Lie.
Sinon GLn(R) est un ouvert de Mn(R), donc de dimension n²

Voilà, c'est l'argument qu'à sorti mon prof à l'oral : c'est un ouvert, donc de dimension n² ; mais pourquoi ça ?

Ah j'ai une idée. Est-ce que c'est parce que tout sous espace vectoriel strict de Mn(R) est fermé, et que le seul espace vectoriel inclus dans Mn(R) qui est ouvert (et fermé aussi d'ailleurs) c'est Mn(R) ?

Heu je ne vois pas en quoi ca avance cet argument d'ailleur le fait que la seule partie non vide de Mn(R) qui soit ouvert et fermée soit Mn(R) n'a pas grand chose a voir, c'est du a la connexité de celui ci.

Reviens a la definition, montre qu'un ouvert de R^n est canoniquement une sous variété de R^n de dimension n.

Oui je dois me tromper quelque part ; dis moi où est l'erreur s'il te plait :

On(R) est un sous espace vectoriel de dimension finie de Mn(R) ; il est donc fermé.
Mais On(R) est aussi ouvert. Par connexité de Mn(R), On(R)=Mn(R) (résultat absurde, mais où est l'erreur ?)

Aie les sous varietés comme tu as pu le voir dans mon autre post, j'ai encore du mal avec ça... Je vais essayer de montrer qu'un ouvert de R^n est canoniquement une sous variété de R^n de dimension n.

On(R) est ouvert? Pas sur du tout.
On(R) est un sous espace  vectoriel de Mn(R)? Encore moins sur.

Hola pardon, je voulais mettre des GLn(R) partout !

Par contre (on en peut pas se tromper tout le temps ) il est vrai que On(R) est fermé c'est meme un fermé de la sphere de rayon racine de n, donc un compact.

Mais GLn n'est pas un sev de Mn(R), d'accord, là est mon erreur !

Same player shoot again... Gl(n,R) n'est pas un sous esp de Mn(R), c'en est juste un ouvert dense.

Pour montrer qu'un ouvert de R^n est une sous variété de R^n, c'est vraiment simple tu dois juste appliquer la définition de sous variété.

Ce coup-ci je me suis corrigé tout seul avant toi

Sion pour montrer qu'un ouvert U de R^n est une sous varieté de R^n de dimension n, il y a le plongement U->R^n ; c'est une immersion ? Et si oui, comment je calcule la dimansion de la sous varieté ?

Ben si c'est un plongement c'est plus qu'une immersion, c'est d'ailleurs aussi une submersion.
Mais sinon applique plutot la definition, soit x un point de U alors il existe un ouvert de R^n et un diffeo de Uinter U vers un ouvert de R^n...le difféo etant l'identité.

Sinon une variété de dim n c'est qqch localement diffeomorphe a un ouvert de R^n, quoi de plus diffeomrophe a un ouvert de R^n qu'un ouvert de R^n...

En fait je me demande si on a la même définition. Dans mon cours, la définition d'une sous varieté c'est :

"M est une sous varieté de dimension n de R^(n+p) de classe C^k si pour tout x0 dans M, il existe un système de coordonnées locales (Phi,U) autour de x0 tel que (UM)=(U)R^nx{0}={x(U);x_n+1=...=x_n+p=0}"

Je te cache pas que j'ai toujours pas bien compris ce qu'est une sous varieté (d'autant plus qu'on a pas parlé de varieté, et que pour moi les "systèmes de coordonnées locales" c'est très flou)...

Quelle est ta définition ?

Un systeme de coords locales ce n'est ni plus ni moins qu'un diffeomorphisme...
Ma definition est exactement la meme.

Salut tout le monde.
En fait il y a une équivalence entre quatre définitions d'une sous-variété:
Théorème des sous-variétés: Soit M un sous-ensemble de R^n. Pour tout a € M, il existe U ouvert de R^n contenant a. On a alors équivalence entre:

1) M sous-variété de R^n de dimension d

2)g:U->R^(n-d) une submersion telle que g^(-1)(0)=U(inter)M

3) Il existe V ouvert de R^d contenant 0 et h:V->R^n une immersion avec h:V->U(inter)M homéomorphisme.

4)a=(a1,..,an). Quitte à permuter les coordonnées de g, il existe H ouvert de R^d contenant (a1,...,ad) et G:H->R^(n-d) différentiable tels que U(inter)M= graphe de G.

la démo de ce théorème est surtout basé sur le théorème d'inversion locale et le théorème des fonctions implicites.

Re-salut ! (j'ai pollué tout le forum avec tous ces posts qui retombent sur les sous varietés...)

Lorsque Rodrigo dit "Mais sinon applique plutot la definition, soit x un point de U alors il existe un ouvert de R^n et un diffeo de Uinter U vers un ouvert de R^n...le difféo etant l'identité", de quel définition parle-il ?

Et sinon, il y a quelque chose qui me perturbe, pour trouver la dimension. Dans le cas de On(R), que vu qu'on avait une submersion de GLn dans Sn, on pouvait dire que la dimension de la sous varieté On(R) était égale à dim(GLn)-dim(Sn). Là, pour montrer que l'ouvert U est une sous varieté de R^n, j'ai trouvé la submersion U->R^n évidente (le plongement). Pour trouver la dimension de U, je ne peux pas trouver un argument similaire à celui qu'on a utilisé pour On(R) ?

Mais pourauoi puisqu'ici c'est beaucoup plus simple? ta carte locale est trivial c'est l'identite du coup la dimension est trivialement n?

Parce que c'est le seul moyen que je connais pour trouver la dimension... Les cartes, j'ai vu des sites qui les mentionnaient mais en cours j'ai pas vu ce que c'était. La définition de la dimension est donc "une sous varieté V est de dimension n si elle est localement difféomorphe à un ouvert de R^n ?". A ce moment là, je verrais bien sûr pourquoi U est de dimension n lol.

Et un petit détail ; pour montrer que On(R) est une sous varieté, on a utilisé la définition 2 de Charly88 :

"2)g:U->R^(n-d) une submersion telle que g^(-1)(0)=U(inter)M"

Sauf que là on a une submersion g:U->R^(n-d) une submersion telle que g^(-1)(In)=U(inter)M"

C'est bon quand même ? Même si la varieté est pas l'image réciproque de 0 ?

Bon deja il est clair que dnas ta definition un ouvert de R^n est une sous variété de R^n de dim n en Effet. Tu sais que N est une sous variété de M (que je suppose de dim n) de dimension p s'il existe U ouvert de M et f un diffeomorphisme de U sur R^n tel que f(U inter N)=f(U)inter R^px{0}

Bon ici on va montrer que V ouvert de R^n est une sous variété de R^n de dim n.

M=R^n, N=V, U=V f=id, alors f(N inter U)=f(V)=V=f(V) inter R^n.

Voila

D'accord, j'ai compris ! Merci beaucoup, encore une fois.

Il reste un ou deux détails. Dans la définition 3 de Charly88, "Il existe V ouvert de R^d contenant 0 et h:V->R^n une immersion avec h:V->U(inter)M homéomorphisme", pourquoi l'ouvert V doit-il contenir 0 ?

Par exemple, si on regarde le tore, paramétré par (cosu*cosv,cosu*sinv,sinu), avec (u,v) dans [0,2[². Si je prend un point du tore M, et un voisinage U de ce point, je peux trouver un ouvert V de R^2 tel qu'il y est un difféo de V sur UM, mais il me semble qu'on ne peut pas en trouver un qui contienne 0...

A quoi sert cette condition, et est-elle essentielle ?

Non ca n'est pas du tout une obligation, d'ailleurs quand on sait que les translations sont des difféomorphisme de R^n, on voit que le fait de contenir 0 ou non n'a pas d'importance et que l'on peut toujours néanmoins se ramener a ce cas.

Très bien

Merci beaucoup pour ton aide sur toutes ces récentes questions, je crois que j'en ai enfin fini avec ces interrogations !

De rien.