Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

dimension de l'ensemble des formes n lineaires alternées (^n(E))

Posté par
mikado
21-05-10 à 21:26

bonjour,

dim (^n(E))=1

j'ai une démonstration mais certains points me bloquent
soit phi une forme n linéaire alternée.

(delta les le déterminant)
1er problème:
[...]
on montre que phi(x1,..,xn)=delta(x1,..,xn) * phi(e1,..,en)
on dit donc que phi(x1,..,xn) est proportionnelle à delta(x1,..xn): je suis d'accord phi(e1,..,en) étant notre coef de proportionnalité si j'ai bien compris.
donc dim(^n(E))1 je ne comprend pas pourquoi.est-ce parce-que il suffit de connaitre phi(e1,..,en) et ensuite d'appliquer les coefficients du cas d'espèce?
pour montrer que dim=1 il suffit de montrer que delta est une forme n linéaire alternée différente de zéro. (pas compris)

2eme problème

[...]on démontre que delta  est une forme linéaire alternée:compris
le symbole de croneker est introduit: Dij=1 si i=j
                                         =o si i pas égal à j
e[/sub]ij=Dije[sub]j : je ne comprend pas car par exemple on obtient e53=e5 cad eij=ei. pour moi c'est meme le contraire car puisque x1,..,xn appartiennent à la meme base alors on e53= e43=ei3=e3.
delta(e1,...,en)=D11*...*Dnn=1 : pourquoi rencontre on delta(e1..en) alors ke jusqu'ici nous avions uniquement delta(x1...xn)? je ne comprend pas non plus l'égalité

pour toute base de E(e1,..,en) il existe une forme n lineaire alternée unique telle que delta(e1,...,en)=1 : pourquoi?


je ne comprend pas du tout cette dernière partie, ce que l'on veut montrer, les égalités.
merci de m'aider car je patauge  et désolé si la présentation est confuse.

Posté par
mikado
re : dimension de l'ensemble des formes n lineaires alternées (^ 21-05-10 à 21:46

(la ou il y a le sub entre crochet faire comme si il n'étai pas la. c'est eij= somme dij*ej pour j allant de 1 à n

Posté par
Camélia Correcteur
re : dimension de l'ensemble des formes n lineaires alternées (^ 22-05-10 à 14:11

Bonjour

Un meilleur ordre serait le suivant:

On commence par montrer que \Delta est une forme n-linéaire alternée, non nulle. (Ca fait toujours un exemple!

Ensuite: \varphi est une application définie sur E^n. On choisit une base (e_1,...,e_n). Pour une famille de vecteurs (x_1,...,x_n) on montre que
\varphi(x_1,...,x_n)=\underbrace{\varphi(e_1,...,e_n)}_{scalaire}\underbrace{\Delta(x_1,...,x_n)}_{fonction(x)}.
Ceci montre que toute \varphi est proportionnelle à la forme \Delta (qui donc à elle seule, est une base des formes alternées).

Pour les hstoires de Kronecker je comprends mal ton problème, mais écris tout en détail pour n=2 ou n=3, tu verras bien...

Enfin, si on prend au hasard une base, \varphi(x_1,...x_n)=\frac{\Delta(x_1,...,x_n)}{\Delta(e_1,...,e_n)} est la seule pour laquelle \varphi(e_1,...,e_n)=1. (Il n'y aurait pas un mélange de notations?)

Posté par
mikado
re : dimension de l'ensemble des formes n lineaires alternées (^ 22-05-10 à 20:43

bonjour,

merci de la réponse.
je comprend que phi est proportionnelle à delta. on montre que delta est une forme n lineaire alternée non nulle pour dire que c'est une base des formes alternées. (donc que dim=1?)
dans mon cours j'ai bien compris pourquoi c'est une forme n lineaire alternée. je pense que le passage pour montrer qu'elle est différente de zéro est peut etre celui ou il y a les histoire de croneker?! pourriez vous me prouver qu'elle est différente de zéro?
je ne vois pas ce que vous voulez que je fasse à écrire les choses pour n=2 ou 3.
ce qui me genre c'est qu'on introduise eij. car lorsqu'on travaillait avec les forme n lineaires, eij signifiait le jeme vecteur de la base du ieme ensemble(décomposition de xi). mais la ,toutes les bases étant les meme on ne parle plus que de ej. je ne vois pas pourquoi parler de eij pour les formes multilinéaires alternés. ni à quoi sert ce passage,ce qu'on veut prouver.
et je ne comprend pas du tout votre derniere phrase:quelle est la base choisie,pourquoi l'égalité..

Posté par
Camélia Correcteur
re : dimension de l'ensemble des formes n lineaires alternées (^ 23-05-10 à 14:47

Pour montrer que la forme déterminant est non nulle, il suffit de calculer le déterminant d'une base...

En effet, si on écrit la matrice des vecteurs (e_1,...,e_n) sur CETTE base: M=(m_{ij}) ce sont des scalaires (c'est ça qui s'appelait e_{ij} dans ton énoncé et qui y'a trompé!), on a

e_j=m_{1j}e_1+m_{12}e_2+...+m_{jj}e_j+...+m_{nj}e_n=0\times e_1+0\times e_2+ 1\times e_j..+0\times e_n

et voilà pourquoi m_{ij}=\delta_{ij}.

Il est clair que le déterminant de cette matrice vaut 1. (ce que tu aurais vu si tu avais écrit le tout pour n=2, comme je te le conseillais)

Dans ma dernière phrase il n'y a aucune base! L'égalité a été démontrée plus tôt!



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !