Salut francois74269,

Qu'as tu trouvé comme "expression générale de A". Tu sais que que A est nilpotente d'ordre exactement 2 donc A est semblable à ... ?

En fait je n'ai pas eu de cours sur les matrices nilpotentes, j'ai seulement lu la définition sur internet. Je ne connais donc pas les propriétés de ces matrices.
J'ai simplement posé A comme une matrice carrée 3x3 mais ce n'est pas la bonne chose à faire je pense.

Non justement, j'ai beaucoup vu cette méthode de réduction de Jordan sur internet mais je ne l'ai pas vu en cours, je pense qu'on la voit en deuxième année.

Quoique ici connaitre la fomule de changement de base suffit, pas la peine de sortir l'artillerie lourde

Si je reprends ce que tu as dis :

Et oui c'est correct on a bien rg(A)=1 et dim(Ker(A))=2.

Bonjour,
Juste en passant :
On a aussi Im(f) Ker(f) qui peut être utile.

Bonjour Sylvieg, je pense que c'est l'argument qu'il a utilisé pour calculer le rang et la dimension du Ker ?

Je peux peut être prendre comme base deux vecteurs de la base de Ker A et un autre vecteur mais je ne sais pas lequel. Mais je ne sais pas si A aura une forme simple.
Je trouve que c'est assez difficile de savoir ce qui sera simple ou non.

Oui, sans doute
Je peux me tromper, mais je crois que ça peut être aussi utilisé pour " obtenir une base bien choisie ".

Oui c'est ça, puisque A²=0 alors Im A c Ker A et puisque A est différente de 0 alors d'après le théorème du rang rgA=1 et dim( Ker A )= 2

Une forme "simple", au vu de ce qui va suivre, est une forme où la matrice à le plus de zéros possibles par exemple.

Oui prendre une base du Ker et compléter est une bonne idée. Tu cherches une base telle que la matrice soit le plus simple possible.

En fait je ne sais pas vraiment comment le fait de prendre 2 vecteurs du noyau influe sur la forme de A. Est ce que A est échelonnée ?

Ta matrice A correspond en fait à la matrice d'un endomorphisme dans la base canonique de . Autrement dit tu as

Pour changer la forme de la matrice, on effectue un changement de base. Si je prends base de Ker(f) et quelconque, que dire de ?

quelconque* mais tel que soit une base bien sur.

Si je change de base j'obtiens une matrice de la forme A'=(P^-1)AP avec (P^-1) et P les matrices de passages. Je ne sais pas si c'était la réponse que vous attendiez.

Oui si on note la matrice de passage de la base canonique à la base avec base de Ker(f) alors



Mais précisément, même si on a pas les valeurs numériques, que dire de la forme de A' ? Que valent ?

Peut être que A = mais je ne suis pas sûr.

Ok pour les deux premières colonnes par définition d'être dans le noyau. Mais pour la 3ème ce que tu écris revient à dire que

Je dis pas que c'est faux mais il manque une justification. A priori on a qui s'exprime comme combinaison linéaire de et donc
où les * sont des nombres inconnus.

Oui je comprend merci. Mais est ce que cette forme est suffisante pour exprimer M et trouver la dimension ? Parce que j'ai l'impression que j'ai encore du mal pour exprimer M.

Pour obtenir la forme que tu donnes :

Comment procéder (en utilisant ce que disait Sylvieg) ? Qu'est-ce que cela signifie pour f évaluée sur cette base ?

Il faut utiliser le fait que l'image est contenue dans le noyau mais je ne sais pas trop comment. Est ce que la troisième colonne est l'antécédent de l'image ?

Dire que

signifie que :



Donc comment choisir ces vecteurs ?

Tu vas y arriver
Commence par choisir un vecteur v₃ qui n'est pas dans le noyau.
Comment choisir v₁ pour que les coordonnées de f(v₃) dans la base (v₁,v₂,v₃) soient (1,0,0) ?

  ? Je n'ai pas encore fait d'exercices sur les changements de bases donc désolé si j'ai un peu de mal.

Dans la base on a



d'après la forme de A'. Ensuite appliques ce que dis Sylvieg

Désolé Sylvieg je n'avais pas vu ton message. Il faut que v1 soit dans l'image puisque l'image est contenue dans la base et donc v3 est un antécédent de v1.

Désolé Aalex00, je n'avais pas vu ton message

Donc f(v3)=v1

Donc finalement, tu choisis d'abords de sorte que soit non nul (nécessaire pour former une base). Puis tu prends dans de sorte que tes 3 vecteurs forment une base.

Oui.
Essaye de récapituler dans l'ordre :
Choisir v₃ pas dans le noyau de f.
Justifier qu'on peut choisir ensuite v₁ = f(v₃).
Et terminer en précisant comment il faut choisir v₂.

Je ne vais plus être disponible. Mais Aalex00 est là

D'accord, merci beaucoup à vous deux.
J'obtiens finalement en posant
et en calculant A'M' et M'A' que puisque A'M'=M'A'.
Donc finalement
Donc l'ensemble est de dimension 5.
Merci encore pour votre aide.

Et pour la justification, lorsque tu calcules le commutant de A' puis revient à celui de A, la dimension est inchangée car l'application est un isomorphisme... Autrement dit, pour deux matrices semblables données, les commutants auront même dimension.

D'accord, merci pour cette précision