Pour la premiere inégalité applique le théorème du rang à la l'application a restreinte à l'image de b.

La second est quasi-evidente si tu raisonnes geométriquement.

Merci pour ta réponse.
J'ai déjà la deuxième, mais je suis pas sur de voir ce que tu veux dire pour la première

Regarde l'application a: Im(b)->K^n et applique lui le théorème du rang.

Ok, on a : rg(b)=dim(ker(a))+rg(a)

On déduit que : 2 rg(a)-n=dim(ker(b))

Donc : dim(ker(a))+dim(ker(b))=dim(ker(a))+2 rg(a)-n=rg(a) (résultat qui me semble étrange)

Donc : dim(ker(a o b))=dim(Im(a))

Est-ce utile ? Est-ce la direction dans laquelle tu voulais m'emmener ?

Ta premiere égalité est fausse.

En quoi ?

Comment ca en quoi? En ce que l'égalité que tu as écrite n'est pas nécéssairement vraie!

J'ai juste essayé de faire ce que t'as dit, c'est à dire restreindre l'application a à im(b),
et donc que d'après le théorème du rang : dim(im(b))=dim(im(a))+dim(ker(a))

Mais si t'as moins constructif que ça comme réponse, n'hésite pas.

Ben non le théoreme du rang ne te dit pas du tout ca.
Applique le proprement à l'application a restreinte à im(b) . Note la differement si tu veux, pour bien comprendre pourquoi ce que tu écris est faux, prend f:im(b)->K^n definie par f(x)=a(x) et applque le théoreme du rang à f.

Le théorème du rang, c'est bien : Soit V et W 2 espaces vectoriels, avec V de dimension finie
Soit g : V--->W une application K-linéaire avec K un corps,

Alors : dimV=dim(ker(g))+dim(im(g)) ?

Parce que si ce n'est pas ça, ma vie est un mensonge. C'est ce qui est noté dans mon cours.

Mais si on applique cela en restreignant l'ensemble de départ à l'espace vectoriel im(b), on a :
dim(im(b))=dim(ker(f))+dim(im(f))
sauf erreur de ma part.

Et là je ne vois pas ou tu veux m'emmener. Comme j'ai certainement faux, et toi certainement raison, je me dis que mon erreur vient surement de comment je restreins l'ensemble de départ mais je ne vois pas d'erreur évidente.

Si, ce que tu écris là est juste, mnt est ce que tu peux exprimer dim(ker(f)) et dim(im(f)) en fonction des données de l'énoncé? En utilisant que f est la restriction de a à im(b)

Très honnêtement je ne vois pas. Je pense que c'est vraiment évident et que je n'arrive pas à le voir.

On a que : kerf={v€imb | f(v)=0} donc kerf={w€K^n | (f o b)(w)=0} ?
Les applications sont linéaires donc tout w€kerb satisfait cela, mais il pourrait y avoir des éléments n'étant pas dans imb qui satisfont ceci également.

Et : imf={v€K^n | w€imb tel que : f(w)=v} donc imf={v€K^n | u€K^n tel que : (f o b)(u)=v }

Désolé on dirait que je n'y mets pas du mien

Je note V plutot que K^n, c'est plus pratique comme notation.
On a que im(b)=b(V) par définition. Donc f(im(b))=a(b(V))... donc ?
De meme un element dans ker(f), il est dans le noyau de a et aussi dans l'image de b par définition donc ker(f)=?

Je dirais imf=im(a o b) donc dim(im(f))=dim(im(a o b))
Pour le ker, comme ton élément y (je l'appelle y) appartient a ker(a), a(y)=0, et il appartient a imb, donc il existe un x dans V tq : b(x)=y
donc (a o b)(x)=0, mais c'est inutile (enfin je m'éloigne d'une expression avec y).

Oui, c'est correct im(f)=im(aob).
Pour ker(f) tu peux montrer que c'est ker(a) inter im(b), mais en fait ce qui compte c'est que ker(f) soit inclus dans ker(a). Ce qui se voit bien si tu remarques que c'est ker(a) inter im(b). En particulier dim(ker(f)) est majoré par dim(ker(a)). Tu as tout ce qu'il faut pour conclure.

D'accord, je ferai ça demain (du moins j'essaierai).
Merci beaucoup pour m'avoir accordé du temps !