Inscription / Connexion Nouveau Sujet
dimension finie
bonjour,
j'ai deux questions : E un ev de dimension n (entier naturel non nul)
est ce que les espaces vectoriels R(^n) et L(E) (ensemble des endomorphismes de E) sont ils isomorphes? Puis même question avec R(^n²) et L(E). je sais que si ces deux ensemebles sont isomorphes alors ils ont même dimension mais je ne parviens pas à trouver une dimension de L(E).. quelqu'un pourrait il m'éclairer ?
merci 
Bonjour,
La dimension de L(E) est n^2.
En effet, L(E) est isomorphe a M_n(R) (l'ensemble des matrices carrées de taille n) qui est de dimension n^2. Une base de M_n(R) est la famille (E_ij) ou E_ij est la matrice de taille n avec des 0 partout sauf à la ligne i et la colonne j où il y a un 1.
En dimension finie, tous les ev de meme dimension sont isomorphes donc L(E) est isomorphe à R^(n^2).
On peut construire un isomorphisme de L(E) vers R^n.
Soit (e_i) une base de E (dim E=n).
soit (f_kl) famille de L(E) à n^2 éléments.
représente le symbole de "Kroneker" et vaut 1 si i=l et 0 sinon.
Cette famille est une base de L(E) (car elle est génératrice et de cardinal n^2). (C'est la base naturelle... Si ca parait obscure essaie avec la dimension 2 ou 3 avec un endomorphisme de R^3. Par exemple, l'identité est la somme des f_ii)
Soit l'endomorphisme de L(E) vers R(n) définie par
(f_kl)=(0,...,0,1,0,..,0) le 1 est à la (n*(k-1)+l) ième place (Pour etre sur de l'indice vérifier le cas limite k=1 l=1)
La donnée d'un vecteur de R_(n^2) définit ainsi complétement un unique endomorphisme de L(E). Mathématiquement on peut dire que (f_kl) est une base. C'est meme la base canonique de R_n^2.
définit donc un isomorphisme.
Il s'agit simplement d'un procédé d'écriture. Il n'y a pas ici de réelle démonstration.
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac