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Bonsoir
" Soit x
n, A 
n non vide, on pose d(x,A)=inf {||x-a||2, a A }
1) Soit A Rn non vide. Montrer que l'application dA : n 
envoyant x sur d(x,A) est 1-lipschitzienne.
2) Soit x n, F n fermé non vide et y F. On pose r=||x-y ||2 et A=F
B(x,r]. Montrer que d(x,F)=d(x,A)
3) En déduire qu'il existe y F tel que d(x,F)=||x-y||2
Pour montrer la 1) il faut d'abord montrer que d(x,A) existe donc que ||x-a||2 admet bien un inf, c'est à dire qu'il existe bien un aA / d(x,A)=||x-a||2
On le montre grâce au fait que A est non vide et que Dx={ ||x-a||2,aA} est bien une partie de .
Pour la 2) Pour montrer que d(x,F)=d(x,A) il faut bien montrer qu d(x,F) existe avant tout donc qu'il existe y F tel que d(x,F)=||x-y||2, je vois pas comment montrer un résultat sans montrer que d(x,F) existe. Or c'est ce qu'on me demande à la question 3) donc pour la 2) il faudrait que je montre que d(x,A)=d(x,F) sans savoir qu'il existe yF ??
1.Une partie non vide de + admet une borne inférieure ( comme tout partie non vide minorée ).
Ce que tu as écrit c'est que cette borne inférieure est atteinte ce qui n' est pas toujours vrai ( prend n = 2 et U = { (x,y) ² │ xy 
(0,0) . Quelle est la distance de (0,0) à U ) ?
Justement à la question 3 on te demande de montrer que si F est fermé , pour tout x il y a au moins un y de F tel que d(x,F) = ||x - y|| .
Cela résulte du fait que les compacts de n sont ses fermés bornés .
Mais tu n'as même pas montré que pour tout x , y et toute partie non vide A de n on a : |d(x,A) - d(y,A)| 
||x - y||
Il faut jongler avec l'inégalité triangulaire et les Inf(.)
Bonjour !
Pour la 2) je veux montrer que d(x,F)=d(x,A).
Or d(x,F)=inf{||x-f||,f dans F}
Soit d(x,F) ne contient pas un plus petit élément, alors d(x,F)=0
Soit d(x,F) contient un plus petit élément, alors il existe f dans F tel que d(x,F)=||x-f||
Je peux donc faire une disjonction de cas ?
Ou alors :
Je sais qu'il existe x' dans n tel que d(x,A)=||x-x'||
Donc d(x',A)=0 donc il existe une suite (an)A
tel que x'=lim an
Or A est fermé donc x' est dans A ?
Oui exact :
Soient x,yn
aA,
d(x,A) ||x-a||=||x-y+y-a|| ||x-y||+||y-a||
Donc d(x,A) ||x-y||+||y-a||
Donc d(x,A) ||x-y|| +d(y,A)
Donc d(x,A)-d(y,A) ||x-y||
De même :
d(y,A) ||y-a||=||y-x+x-a|| ||y-x||+||x-a||
Donc d(y,A) ||x-y||+||x-a||
Donc d(y,A) ||x-y||+d(x,A)
Donc d(y,A)-d(x,A) ||x-y||
Ainsi |d(x,A)-d(y,A)| ||x-y||
Bonjour !
Comment passer d'une ligne à l'autre dans ce qui suit ?
Donc d(x,A)
||x-y||+||y-a||
Donc d(x,A)
||x-y|| +d(y,A)Le "De même" est inutile : dans ce que tu as déjà écrit il suffit d'échanger
....................................................................
Je sais qu'il existe x' dans
n tel que d(x,A)=||x-x'||Justement tu ne le sais pas et c'est même faux dans le cas
Tu devrais faire un schéma (une "patate" pour
. Une inclusion d'ensembles a une conséquence pour les bornes inférieures : l'écrire.
. La borne inférieure d'une réunion est la plus petite des bornes inférieures.
Bonjour !
Comme pour tout a A, d(x,A) ||x-y|| + ||y-a||
alors c'est vrai en particulier pour inf{||y-a||,a dans A } donc
d(x,A) ||x-y|| + d(y,A)
(On avait fait la démo dans le cours et le prof n'a pas explicité ce passage)
Oui je vois mais je sais pas comment faire alors ..
Non ce n'est pas correct.
Tu devrais écrire :
.
Tu as donc un minorant de et nécessairement ce minorant est inférieur à la borne inférieure.
...........................
As-tu trouvé la comparaison des bornes inférieures quand il y a inclusion ?
............................
Tu remarques alors que et tu utilises ce que tu as trouvé concernant les bornes inférieures d'une réunion et des deux ensembles qu'on réunit.
Oui,
{||x-z||,z F}={||x-z||,zA} U {||x-z||,zF\A}
Donc inf{||x-z||,zF}=inf{ {||x-z||,zA} U {||x-z||,zF\A} }
Donc d(x,F)=min{ d(x,A),d(x,F\A) } Donc d(x,F) d(x,A)
Il manque plus qu'à montrer que d(x,F)
d(x,A)
Toute fois pour montrer que d(x,F)d(x,A) on a juste utilisé le fait que AF
Mais pour montrer d(x,F)d(x,A) il faudra que j'utilise le fait que A=F
B(x,r]
Une correction de notation (en rouge) :
Donc inf{||x-z||,z
F}=inf( {||x-z||,zA} U {||x-z||,zF\A} ) ..................
Effectivement pour l'inégalité
...................
Pour l'inégalité inverse, tout simplement, si
......................
Pour finir tu utilises la continuité de
Bonsoir, il faut que je montre que d(x,A)d(x,F)
Pas que d(x,A)d(x,F\A) ... je comprend pas l'interet de parler de d(x,F\A)
Tu as écrit toi-même
d(x,F)=min{ d(x,A),d(x,F\A) }
Si
Si tu n'utilises pas la compacité de
J'ai un début de piste ..
Comme pour tout x B(x,r]
Alors je peux considérer dA comme telle :
dA: B(x,r]
x
d(x,A)
B(x,r]Rn et dimn=n
B(x,r] est fermée bornée donc B(x,r] est compact.
dA est 1-lipschitzienne donc C0
Alors dA est bornée et atteint ses bornes
Si tu écris ça tu auras l'existence d'un point de la boule fermée où la borne est atteinte et ce n'est pas ce que tu veux.
Prends plutôt continue sur
qui est compact (intersection du fermé
et de la boule fermée de centre
, rayon
). La fonction atteint sa borne inférieure en un point de
et c'est important !
..........................
Comme tu le répètes dans tout ce que tu écris je pense qu'on te fait écrire (avec un crochet fermant) pour désigner une boule fermée.
C'est à la fois une bonne et une mauvaise chose : bonne parce que tu as une notation pour désigner la boule fermée, mauvaise car cette notation n'est pas universelle et tu risques dans certains examens de te le faire reprocher !
Bonsoir !
On a donc d(x,A)=||x-u|| , uA
Toutefois j'arrive toujours pas à voir comment montrer d(x,A) d(x,F)
avec le fait que d(x,A) d(x,F\A)
J'avais essayé de montrer qu'il existe uA tel que d(x,A)=||x-u|| :
Soit f:A
a ||x-a||
J'ai montré que f est continue
Ainsi f est continue, A est compact. Donc f est bornée et atteint ses bornes.
Donc il existe uA / inf{||x-a||,aA}=f(u)
c'est à dire que d(x,A)=||x-u||
Bonsoir !
Toutefois j'arrive toujours pas à voir comment montrer d(x,A) d(x,F)
avec le fait que d(x,A) d(x,F\A)
Revois mon message du 11/12, 18:00.
Il suffit de répondre à la question posée pour avoir ta solution !
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