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distance à racine de 2

Posté par zineb (invité) 26-07-05 à 18:23

bonjour, j'ai encore un petit exercice à vous proposer, par contre j'arrive pas à en voir le petit truc

alors voilà : soit (m,n)\in{N}^2 démontrer que \frac{m+2n}{m+n} est plus proche de \sqrt{2} que \frac{m}{n}, et que \sqrt{2} est compris entre ces deux rationnels. En déduire la valeur approchée rationnelle de \sqrt{2} à 10-4 près.

pour la première partie, je sais qu'il faut comparer : |\frac{m+2n}{m+n}-\sqrt{2}| et |\frac{m}{n}-\sqrt{2}| et je suppose que c'est l'inégalité triangulaire qu'il faut utiliser mais je n'y arrive pas ... merci de votre aide.

Posté par titimarion (invité)re : distance à racine de 2 26-07-05 à 18:44

Salut
déjà on peut montrer que \sqrt 2 est bien compris entre ces deux rationnelles.
en effet si m<\sqrt 2 n
m+2n-(m+n)\sqrt 2=(1-\sqrt 2)m+(2-\sqrt2)n>(1-\sqrt 2)m+(\sqrt 2-1)m=0
ce qui prouve que si \frac{m}{n}<\sqrt 2 alors \frac{m+2n}{m+n}>\sqrt 2
L'autre cas se montre de la même façon.

Posté par zineb (invité)re : distance à racine de 2 26-07-05 à 18:50

oui mais si vous faites ça vous prouvez seulement une relation d'ordre entre les deux rationnels et racine de 2, pas lequel est le plus proche de racine de 2 ...

Posté par titimarion (invité)re : distance à racine de 2 26-07-05 à 18:54

De la même manière suppososns que m/n<\sqrt 2
alors il faut montrer que
\frac{m+2n}{m+n}-\sqrt 2<\sqrt2-\frac{m}{n}
ce qui est équivalent après une ligne de calcul à montrer que
nm(2-2\sqrt 2)+n^2(2-2\sqrt 2)+m^2<0
Or d'après l'inégalité m<n\sqrt 2 que l'on asupposé.
On a nm(2-2\sqrt 2)+n^2(2-2\sqrt 2)+m^2<\sqrt2 n^2(2-2\sqrt 2)+n^2(2-2\sqrt 2)+2n^2 et le membre de gauche vaut 0 d'ou le résultat.
bien sur je n'ai fait que le cas m/n<\sqrt 2 mais l'autre cas se fait de la même manière
Peut etre même peut on faire les 2 cas en une seule fois.

Posté par titimarion (invité)re : distance à racine de 2 26-07-05 à 18:55

Mon premier post répondait à la question \sqrt 2 est compris entre ces deux rationnelles. il me fallait 2 seconde de réflexion avant de faire la suite.

Posté par zineb (invité)re : distance à racine de 2 26-07-05 à 18:59

oui ok pardon !

en tous cas merci beaucoup

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : distance à racine de 2 27-07-05 à 06:20

Bonjour zineb,bonjour titimarion;
on peut aussi en considérant la fonction f: x\to x^2-2 constater que:
\{{f(\frac{m+2n}{m+n})=\frac{2n^2-m^2}{(m+n)^2}\atop\ f(\frac{m}{n})=\frac{m^2-2n^2}{n^2}
et donc que f(\frac{m+2n}{m+n})f(\frac{m}{n})<0 ce qui prouve que \sqrt{2} est strictement compris entre les deux (théorème des valeurs intérmédiaires)
le milieu des 2 est r=\frac{(m+n)^2+n^2}{2n(m+n)}
d'où f(r)=\frac{(m^2-2n^2)(m^2+4mn+2n^2)}{4n^2(m+n)^2}
donc f(r)f(\frac{m}{n})>0 ce qui veut dire que:
r,\frac{m}{n} se trouvent du mm coté de \sqrt{2}
un petit dessin montre alors que \frac{m+2n}{m+n} est le plus proche de \sqrt{2}
Voilà,j'espére que je n'ai pas dis de bétises

Posté par zineb (invité)re : distance à racine de 2 27-07-05 à 14:07

Merci beaucoup,

j'ai l'impression que c'est juste, donc sur ce plan là pas de souci Abdelali. Je trouve même la méthode très astucieuse et très "jolie" (je trouve pas d'autre mot )
Merci beaucoup, et à titimarion aussi !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : distance à racine de 2 27-07-05 à 14:21

Il n'y a vraiment pas de quoi zineb:c'était un plaisir

Posté par titimarion (invité)re : distance à racine de 2 27-07-05 à 14:55

Re,
elhor je ne suis pas sur de comprendre ton argument pour dire que \frac{m+2n}{m+n} est plus proche de \sqrt 2
Si c'est parce que le milieu est du même côté de \sqrt 2 que \frac{m}{n}
J'ai peur que ce ne soit pas suffisant.
en effet si l'on prend f(x)=e^x-e^2 On af(0)<0,\,f(3)>0,\;\mbox{ et }f(1,5)<0 ainsi le milieu est du même côté que f(0) et pourtant f(0) est plus proche de e² que f(3).
Mais peut être ais-je mal compris ton argument.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : distance à racine de 2 27-07-05 à 16:42

Bonjour Titimarion;
prenons l'exemple de f(x)=e^x-e^2 on a:
f(0)<0 et f(3)>0 comme f s'annule pour l'unique valeur x=2 on en déduit que 2 est strictement comprise entre 0 et 3 (ce qui est vrai)
le milieu de 0 et 3 étant \frac{3}{2}=1.5 on constate que f(1.5)<0 ainsi 0 et 1.5 se trouvent du mm coté de 2 (ce qui est vrai)on en déduit que 3 est plus proche de 2 que 0(ce qui est encore vrai).
Voilà,c'est exactement le raisonnement que j'ai fait pour répondre au post de zineb.
j'espére que je ne dis pas de bétises

Posté par titimarion (invité)re : distance à racine de 2 27-07-05 à 18:32

Je n'avais en effet pas saisi l'argument, cela me semble correcte e,ncore faut il préciser que la fonction étudié est monotone sur le domaine étudié, je pense que c'est nécessaire et bien sur que \sqrt 2 annule la fonction.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : distance à racine de 2 27-07-05 à 20:04

Pour terminer on peut donc écrire que:
|\sqrt{2}-\frac{m+2n}{m+n}|<\frac{1}{2}|\frac{m+2n}{m+n}-\frac{m}{n}|=rayon de l'intervalle (\frac{m+2n}{m+n},\frac{m}{n}) ou avec p=\frac{m}{n}:
|\sqrt{2}-\frac{p+2}{p+1}|<\frac{|f(p)|}{2(p+1)}
avec p=\frac{1414}{1000} on trouve que |\sqrt{2}-1,4142|<10^{-4}


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