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Distance à un ensemble
Bonjour, j'ai besoin d'aide pour ce exercice.
ENONCE
Dans ce problème, on travaille indifféremment avec la distance entre deux nombres réels ( la valeur absolue ) et la distance entre deux nombres complexes ( le module ). On considère donc que E = 
ou E = 
.
Pour une partie A non vide de E et un élément x de E, on définit la distance de x à A comme
d(x,A) = inf { |x-a| ; a 
A }.
L'objet de ce problème est d'étudier cette notion sur quelques exemples puis d'en dégager quelques propriétés.
1) Question de cours : Soit B 
et y . Rappeler une condition nécessaire et suffisante sous laquellle B admet une borne inférieure. Sous cette condition, montrer que y = inf(B) si et seulement si
b B, y 
b et 
> 0, 
b B, b < y +
2) Montrer que la borne inférieure apparaissant dans la définition de d(x,A) est bien définie.
3)Exemples réels. Dans cette partie, E = .
a) On prend A = {0}. Déterminer d(x,A) pour tout x
b) On prend A = [ -1,1].Déterminer d(x,A) pour tout x
c) On prend A = 
.Déterminer d(x,A) pour tout x
Réponses
1-B doit être une partie non vide et minorée de
B donc B est un partie de
b B alors B est non vide
b B y b alors B est minorée par y
on conclut que B admet une borne inférieure
pour la suite je ne vois pas comment faire
salut
ce n'est pas parce qu'il est écrit que B n'est pas vide !!!
c'est parce qu'on est dans la condition : B admet une borne inf finie !!!
et le "montrer que ... " ben c'est simplement la définition de la borne inf ...
pour la suite un module (ou une valeur absolue dans R) est positive donc minorée ...
d'accord.
j'ai voulu montrer par double inégalité d'abord j'ai ca :
b B, y b alors B est minorée par b on en déduit que y inf(B)
je fais comment pour montrer que y 
inf(B) ?
quelle est "ta" définition de borne inf (ou sup) ?
parce que ce qu'on te demande de démontrer est la définition de la borne inf ...
et une définition ne se démontre pas ... sauf à partir d'une autre définition ...
ok ...
donc :
1/ y est un minorant e B donc pour tout b dans B : y < b
2/ soit z un autre minorant de B ... montre que z =< y
je n'arrive pas à bien suivre, pour la question 1 il a deux sous-questions
1)
- Rappeler une condition nécessaire et suffisante sous laquelle B admet une borne inférieure :
il faut que B soit une partie non vide et minorée de
- Sous cette condition, montrer que y = inf(B) si et seulement si
b B, y b et > 0, b B, b < y +
pour cette sous-question il s'agit de montrer une équivalence donc on procède par double implications.
* Supposons que inf(B) = y
on a évidemment b B, y b et > 0, b B, b < y +
* Supposons b B, y b et > 0, b B, b < y +
c'est pour montrer la 2e implication je bloque
je n'arrive pas à bien suivre, pour la question 1 il a deux sous-questions
1)
1-a Rappeler une condition nécessaire et suffisante sous laquelle B admet une borne inférieure :
il faut que B soit une partie non vide et minorée de
1- bSous cette condition, montrer que y = inf(B) si et seulement si
b B, y b et > 0, b B, b < y +
pour cette sous-question il s'agit de montrer une équivalence donc on procède par double implications.
* Supposons que inf(B) = y
on a évidemment b B, y b et > 0, b B, b < y +
* Supposons b B, y b et > 0, b B, b < y +
c'est pour montrer la 2e implication je bloque
Bonsoir,
la première implication est « évidente » mais je te conseille vivement de la justifier plus précisément si il s'agit d'un travail à rendre.
Pour la seconde implication
> 0, b B, b < y +
peut aussi s'écrire
x>y b B tq b<x
la première implication est « évidente » mais je te conseille vivement de la justifier plus précisément si il s'agit d'un travail à rendre.
d'accord je ne voulais pas rendre le topic long c'est pour cela
pour montrer que inf(B) = y j'ai voulu montrer d'une part que inf(B)
y et inf(B) y
donc puisque
b B y b alors y inf(B)
je vois pas trop comment montrer que y
inf(B) et conclure à l'égalitésoit y = inf (B) donc le plus grand minorant de B
si z est un autre minorant et si y < z alors en prenant e = (z - y)/2 tu ne pourras pas trouver b dans B tel que y < b < y + e
donc y n'est pas le plus grand minorant ... donc n'est pas Inf (B) ...
soit y = inf (B) donc le plus grand minorant de B voir à 12h38 et l'énoncé ...
si z est un autre minorant et si y < z alors en prenant e = (z - y)/2 tu ne pourras pas trouver b dans B tel que y < b < y + e
donc y n'est pas le plus grand minorant ... donc n'est pas Inf (B) ...
d'accord merci beaucoup
pour montrer cette question je fais comment
2) Montrer que la borne inférieure apparaissant dans la définition de d(x,A) est bien définie.
pour la suite un module (ou une valeur absolue dans R) est positive donc minorée ...
a A donc |x-a| A qui est un partie non vide de
de plus la valeur absolue étant positive elle est donc minorée
conclusion la borne inf est bien définie
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