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Niveau maths sup
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Distance à un ensemble

Posté par
pfff
28-12-20 à 12:17

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour ce exercice.

ENONCE

Dans ce problème, on travaille indifféremment avec la distance entre deux nombres réels ( la valeur absolue ) et la distance entre deux nombres complexes ( le module ). On considère donc que E = ou E = .
Pour une partie A non vide de E et un élément x de E, on définit la distance de x à A comme
                                       d(x,A) = inf { |x-a| ; a A }.

L'objet de ce problème est d'étudier cette notion sur quelques exemples puis d'en dégager quelques propriétés.

1) Question de cours : Soit B et y . Rappeler une condition nécessaire et suffisante sous laquellle B admet une borne inférieure. Sous cette condition, montrer que y = inf(B) si et seulement si
                                     b B, y b et > 0, b B, b < y +

2) Montrer que la borne inférieure apparaissant dans la définition de d(x,A) est bien définie.

3)Exemples réels. Dans cette partie, E = .
a) On prend A = {0}. Déterminer d(x,A) pour tout x
b) On prend A = [ -1,1].Déterminer d(x,A) pour tout x
c) On prend A = .Déterminer d(x,A) pour tout x


Réponses

1-B doit être une partie non vide et minorée de

B donc B est un partie de
b B alors B est non vide
b B y b alors B est minorée par y

on conclut que B admet une borne inférieure

pour la suite je ne vois pas comment faire

Posté par
carpediem
re : Distance à un ensemble 28-12-20 à 12:21

salut

ce n'est pas parce qu'il est écrit b \in B que B n'est pas vide !!!

c'est parce qu'on est dans la condition : B admet une borne inf finie !!!

et le "montrer que ... " ben c'est simplement la définition de la borne inf ...

pour la suite un module (ou une valeur absolue dans R) est positive donc minorée ...

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 28-12-20 à 12:27

d'accord.

j'ai voulu montrer par double inégalité d'abord j'ai ca :


b B, y b alors B est minorée par b on en déduit que y inf(B)

je fais comment pour montrer que y inf(B) ?

Posté par
carpediem
re : Distance à un ensemble 28-12-20 à 12:29

quelle est "ta" définition de borne inf (ou sup) ?

parce que ce qu'on te demande de démontrer est la définition de la borne inf ...

et une définition ne se démontre pas ... sauf à partir d'une autre définition ...

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 28-12-20 à 12:38

On appelle borne inférieure de A, si elle existe, le plus grand des minorants de A

Posté par
carpediem
re : Distance à un ensemble 28-12-20 à 12:50

ok ...

donc :

1/ y est un minorant e B donc pour tout b dans B : y < b

2/ soit z un autre minorant de B ... montre que z =< y

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 28-12-20 à 12:59

l'énoncé dit que y = inf(B) donc y est le plus grand des minorant d'où z <= y

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 28-12-20 à 14:47

Posté par
carpediem
re : Distance à un ensemble 28-12-20 à 14:50

l'énoncé ne dit pas cela ...

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 28-12-20 à 17:11

je n'arrive pas à bien suivre, pour la question 1 il a deux sous-questions

1)  

- Rappeler une condition nécessaire et suffisante sous laquelle B admet une borne inférieure :

il faut que B soit une partie non vide et minorée de

- Sous cette condition, montrer que y = inf(B) si et seulement si
                                     b B, y b et > 0, b B, b < y +

pour cette sous-question il s'agit de montrer une équivalence donc on procède par double implications.

* Supposons que inf(B) = y

on a évidemment  b B, y b et > 0, b B, b < y +

* Supposons  b B, y b et > 0, b B, b < y +

c'est pour montrer la 2e implication je bloque

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 28-12-20 à 17:12

je n'arrive pas à bien suivre, pour la question 1 il a deux sous-questions

1)  

1-a Rappeler une condition nécessaire et suffisante sous laquelle B admet une borne inférieure :

il faut que B soit une partie non vide et minorée de

1- bSous cette condition, montrer que y = inf(B) si et seulement si
                                     b B, y b et > 0, b B, b < y +

pour cette sous-question il s'agit de montrer une équivalence donc on procède par double implications.

* Supposons que inf(B) = y

on a évidemment  b B, y b et > 0, b B, b < y +

* Supposons  b B, y b et > 0, b B, b < y +

c'est pour montrer la 2e implication je bloque

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 28-12-20 à 18:57

Posté par
verdurin
re : Distance à un ensemble 28-12-20 à 19:22

Bonsoir,
la première implication est « évidente » mais je te conseille vivement de la justifier plus précisément si il s'agit d'un travail à rendre.

Pour la seconde implication
> 0, b B, b < y +
peut aussi s'écrire
x>y b B tq b<x

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 28-12-20 à 19:47

Citation :
la première implication est « évidente » mais je te conseille vivement de la justifier plus précisément si il s'agit d'un travail à rendre.


d'accord je ne voulais pas rendre le topic long c'est pour cela

pour montrer que inf(B) = y j'ai voulu montrer d'une part que inf(B) y et inf(B) y

donc puisque b B y b alors y inf(B)

je vois pas trop comment montrer que y inf(B) et conclure à l'égalité

Posté par
verdurin
re : Distance à un ensemble 28-12-20 à 21:01

x>y b B tq b<x
dit « évidement » que yinf(B).

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 29-12-20 à 01:49

j'essaye de prendre des exemples j'arrive pas à comprendre.

vous pouvez me donner un exemple ?

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 29-12-20 à 11:41

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 29-12-20 à 17:28

j'ai besoin d'aide pour la suite s'il vous plait

Posté par
carpediem
re : Distance à un ensemble 29-12-20 à 17:51

soit y = inf (B) donc le plus grand minorant de B

si z est un autre minorant et si y < z  alors en prenant e = (z - y)/2 tu ne pourras pas trouver b dans B tel que y < b < y + e

donc y n'est pas le plus grand minorant ... donc n'est pas Inf (B) ...

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 29-12-20 à 18:03

mais ca ne montre pas que y inf(B)

Posté par
carpediem
re : Distance à un ensemble 29-12-20 à 18:42

carpediem @ 29-12-2020 à 17:51

soit y = inf (B) donc le plus grand minorant de B  voir à 12h38 et l'énoncé ...

si z est un autre minorant et si y < z  alors en prenant e = (z - y)/2 tu ne pourras pas trouver b dans B tel que y < b < y + e

donc y n'est pas le plus grand minorant ... donc n'est pas Inf (B) ...

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 29-12-20 à 18:52

d'accord merci beaucoup

pour montrer cette question je fais comment

Citation :
2) Montrer que la borne inférieure apparaissant dans la définition de d(x,A) est bien définie.

Posté par
carpediem
re : Distance à un ensemble 29-12-20 à 18:54

carpediem @ 28-12-2020 à 12:21

pour la suite un module (ou une valeur absolue dans R) est positive donc minorée ...

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 29-12-20 à 18:59

a A donc |x-a| A qui est un partie non vide de

de plus la valeur absolue étant positive elle est donc minorée

conclusion la borne inf est bien définie

Posté par
pfff
re : Distance à un ensemble 29-12-20 à 19:00

je pourrai avoir des indices pour la dernière question ?

Posté par
carpediem
re : Distance à un ensemble 29-12-20 à 19:07

pour la question 3/ les résultats sont immédiats ... ou alors tu n'as pas compris ce qu'est la distance d'un point à un ensemble ...

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