Bonsoir Ramanujan.
Déjà, on note E l'EV de dimension finie.
On présume ensuite que est un élément de E qui n'appartient pas à H.
Pour tout , tu considères la boule ouverte de centre et de rayon . Il existe alors un élément .

1.Soit E   un -ev de dimension finie normé par N .
E  est complet et tout  sv de E est fermé donc complet .
De plus toute boule fermée de E est compacte .

2.Soient alors H un hyperplan de E et a E .
   Pour chaque n *  il existe  y_n H tel que  d(a,H)    N(a - y_n)   d(a,H) + 1/n .

..Tu montres  alors que la suite n y_n est de Cauchy (pour N) donc converge vers un élément de   H  .

..ou bien (et c'est ce   que l'énoncé suggère  ) tu te sers de la compacité de la boule BF(a,1)  pour dire qu'une sous suite de  n y_n  converge vers un élément de  H .

E est un R espace vectoriel de dimension finie.
est un vecteur de E.

Je voudrais faire par ma méthode car je suis une indication.
Je comprends pas vos raisonnement avec les boules.

Mon raisonnement est-il faux ? Comment passer de à une suite ?

J'ai une idée si je prends : alors

J'obtiens :

En passant à la limite on obtient :



Y a pas un souci pour utiliser le théorème des gendarmes ? L'inégalité stricte à droite ça m'a l'air bizarre.

Bonjour !
Parce que tu ne sais pas comment on passe à la limite dans une inégalité stricte !
Réfléchis à et ce que tu obtiens à la limite.

bonjour,
j'interviens ici pour une simple remarque.
En topologie générale , l'utilisation des suites est féconde et souvent incontournable.
mais ici le contexte de l'exercice est riche (espace vectoriel normé, dimension finie, hyperplan, convexité..)

Pourquoi utiliser une suite pour déterminer   tel que    ?

En effet soit et avec
est comme il a été dit un compact  et un convexe , la fonction définie sur K  :
  est continue sur ce compact donc atteint son minimum qui est unique de par la convexité de
maintenant si on veut  "pour le plaisir" construire une suite de H convergente en k.
il suffit de définir une suite réelle positive convergente en 1 et définir

Merci, Luzak quelle est la règle générale à utiliser quand on passe  à la limite dans une inégalité stricte ?

Honnêtement je préfère rester sur ma méthode au moins j'ai compris.

Parce que vos boules et convexité je comprends strictement rien et je vois pas c'est quoi B inter H pourquoi vous faites l'intersection de la boule avec l'hyperplan.

Sinon j'ai une question pour la suite comment montrer que la suite (yn) est bornée pour appliquer le théorème de BOLZANO WEIERSTRASS ?

Je vois pas en quoi l'intersection de la boule de centre x0 avec l'hyperplan réalise la distance entre x0 et l'hyperplan.

Si je fais un dessin, l'hyperplan peut intersecter la boule n'importe où et pas forcément en x0.

Pourquoi K = B inter H est un compact ? Pour d(x0 , y) est continue ?

Tu as et tu demandes comment montrer que la suite est bornée ?
De temps en temps il faut réfléchir un peu...

J'ai :  

Donc :

Pour pour tout n entier non nul :

DOnc :

Généralement quand on montré borné c'est inférieur ou égal mais ça change rien ?

Pour la question 2 :
D'après le théorème de Bolzano Weierstrass, on peut extraire une sous suite convergente
Pour montrer que la sous suite a une limite dans H je pars de :


h est une forme linéaire non nulle sur E de dimension finie alors h est continue.


Un singleton est un fermé car son complémentaire un un ouvert donc H est l'image réciproque d'un fermé par une application continue H est donc fermé.

Donc la limite de la suite extraite est dans H