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Distance associée à une norme

Posté par
lolo5959 27-09-05 à 19:52

Bonsoir à tous!

J'ai une question à laquelle je dois répondre, mais qui me pose problème:

"Soit d une distance sur E.
Y a-t-il des conditions pour que d provienne d'une norme? Si oui, lesquelles?"

Alors, je sais qu'il faut des conditions pour cela, mais je ne sais pas lesquelles!

Faut-il que d vérifie les propriétés que vérifie la norme? Ou autre chose d'autre?

Enfin, voilà, je ne vois pas comment je peux trouver ces conditions....

Merci Beaucoup pour toute aide

Posté par rust (invité)re : Distance associée à une norme 27-09-05 à 21:58

bonsoir, c'est quoi E ?

Posté par tutu (invité)re : Distance associée à une norme 27-09-05 à 22:06

Salut,


J'imagine que E est un espace vectoriel sinon ....

Ben alors d provient d'une norme ssi ||x|| = d(x,0) est une norme et si d(x,y)=d(x-y,0)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Distance associée à une norme 28-09-05 à 04:10

Bonsoir;
Condition nécéssaire:
Supposons que la distance d provienne d'une norme ||\hspace{5}|| sur E,on doit donc avoir:
(*)4$\fbox{\forall x,y,z\in E\\d(x+z,y+z)=||(x+z)-(y+z)||=||x-y||=d(x,y)}
on dit que la distance provenant d'une norme est invariante par translation.

(*)4$\fbox{\forall x,y\in E\hspace{5}\forall\lambda\in\mathbb{R}\\d(\lambda x,\lambda y)=||\lambda x-\lambda y||=||\lambda(x-y)||=|\lambda|\hspace{5}||x-y||=|\lambda|d(x,y)}
on dit que la distance provenant d'une norme est positivement homogéne de degré 1.

condition suffisante:
Soit d une distance sur E invariante par translation et positivement homogéne de degré 1.
considérons l'application 4$\fbox{||\hspace{5}||:E\to{\mathbb{R}}^+\\x\to||x||=d(x,0_E)} alors:
(*)3$\fbox{\forall x\in E\\||x||=0\Longleftrightarrow d(x,0_E)=0\Longleftrightarrow x=0_E}
(*)3$\fbox{\forall x\in E\hspace{5}\forall\lambda\in\mathbb{R}\\||\lambda x||=d(\lambda x,0_E)=d(\lambda x,\lambda0_E)=|\lambda|d(x,0_E)=|\lambda|\hspace{5}||x||}
(*)3$\fbox{\forall x,y\in E\\||x||+||y||=d(x,0_E)+d(y,0_E)=d(x+y,0_{E}+y)+d(y,0_E)\ge d(x+y,0_E)=||x+y||}
ainsi ||\hspace{5}|| est bien une norme sur E et on a:4$\fbox{\forall x,y\in E\\d(x,y)=d(x-y,y-y)=d(x-y,0_E)=||x-y||}
c'est à dire que la distance d provient bien de la norme ||.||=d(.,0_E)
Conclure.

Sauf erreur bien entendu

Posté par
lolo5959re : Distance associée à une norme 28-09-05 à 14:10

Merci beaucoup à vous tous !

--->elhor_abdelali , juste une 'tite question, vous êtes professeur en fac ???
Paske je remarque qu'à chaque fois que vous répondez, vos réponses sont

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Distance associée à une norme 28-09-05 à 17:12

Bonjour lolo5959;
Je suis professeur dans un lycée au maroc. J'espére que j'ai été utile et à la prochaine.
Amicalement elhor

Posté par
lolo5959re : Distance associée à une norme 28-09-05 à 18:17

OK OK!

"J'espére que j'ai été utile"->Bien évidemment!!!

lolo


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