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distance d'une matrice symétrique à On(IR)

Posté par
math71 24-01-17 à 20:28

Bonjour,
J'ai montré que l'application qui aux matrices (M,N) associe tr(tM.N) est un produit scalaire sur l'ensemble des matrices carrées d'ordre n.
Il faut ensuite que je détermine la distance de S à On() où S est une matrice symétrique à spectre dans +.
Quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plait? Merci d'avance.

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 25-01-17 à 01:35

Bonsoir math71.

Tu sais que c'est un exercice qui est loin d'être trivial ?!
Et que ce à quoi tu as déjà répondu n'en constitue en général que la première question !

\text{Tu dois donc utiliser la norme associée à ce p.s. (appelée norme de Schur) et notée }||A|| = (Tr(^tA.A))^{1/2} = (A|A)^{1/2}.
\text{Tu cherches donc à calculer } d(S,\mathcal O_n(\R)) = \underset{M \in \mathcal O_n(\R)}{\inf}||S-M||

Commence par montrer que \mathcal M_n(\R) = \mathcal S_n(\R) \oplus \mathcal A_n(\R) où \mathcal S_n(\R) (resp. \mathcal A_n(\R)) est l'ensemble des matrices symétriques (resp. antisymétriques) de \mathcal M_n(\R) et que cette somme directe est orthogonale.

Si A \in \mathcal M_n(\R), montre que d(A,\mathcal S_n(\R)) = (1/2)||A-{}^tA|| et quid de d(A,\mathcal A_n(\R)) ?

Répond déjà à ça et ensuite on abordera le gros morceau d(A,\mathcal O_n(\R)) par le théorème de décomposition polaire.

Posté par
math71re : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 25-01-17 à 07:10

Bonjour,
Merci, je viens juste de voir votre réponse et je pars en classe dans 10 minutes... C'est à peu près dans quoi je m'étais lancé hier soir, mais je n'ai pas réussi à conclure. mais on va corriger en classe ce matin. Merci quand même! Bonne journée

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 25-01-17 à 10:19

math71 @ 25-01-2017 à 07:10

quoi je m'étais lancé hier soir, mais je n'ai pas réussi à conclure.

Si tu n'as commencé que hier soir, cela rien d'étonnant, le chemin avant la conclusion est encore long ...
D'autre part, si tu as un corrigé, je serai intéressé de l'obtenir.
Tu voudras bien me l'envoyer par mail ? S'il te plaît.
En te remerciant pas avance.

Posté par
carpediemre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 25-01-17 à 10:21

et pourquoi pas ici tout simplement ... pour en faire profiter tout le monde ...

Posté par
YoannDqrre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 25-01-17 à 11:13

Ce qui peut aussi être fait, c'est calculer les projeté orthogonal non ? ( vérifié les hypothèses quand même car je ne suis pas sur sur ). Il y a une propriété ( que je qualifierais plutôt de théorème vu la puissance de cette propriété mais bon) qui permet d'écrire la distance d'un point a un espace vectoriel comme la norme de la somme des projeté orthogonale.
Si vous voulez plus de détaille je peux me replonger dans mes cours pour retrouver la propriété en question !

Posté par
DOMOREAre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 25-01-17 à 15:48

bonjour,
S est donc diagonalisable de spectre positif, S=S^T,     O\in O(n,\mathbb{R}) donc O^T=O^{-1}
inf(tr(S-O)^T (S-O)))=inf((tr(S-O^T) (S-O))^{\frac{1}{2}})= \\ inf((tr(S-O^{-1}) (S-O))^{\frac{1}{2}})= \\ inf((tr(S^2+I-(O^{-1}S+SO)))^{\frac{1}{2}})= \\ inf((tr(S^2+I)-tr(O^{-1}S+SO)))^{\frac{1}{2}})
or sauf erreur, il me semble que tr(O^{-1}S+SO) sera maximum si O=I
d'oùd(S,O(n,\mathbb{R}))=(tr((S-I)^2))^{\frac{1}{2}}=(\Sigma(\lambda_i-1)^2))^{\frac{1}{2}}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 25-01-17 à 16:32

Bonjour DOMOREA.
Tout à fait d'accord ! Et effectivement, l'exercice est simplifié du fait qu'on part d'une matrice diagonalisable à spectre positif, donc symétrique et positive. J'avais pas assez fait attention à ce détail et avait considéré S comme une matrice quelconque (bon, ça se fait si on admet le Théorème de la décomposition polaire A = US avec U orthogonal et S diagonalisable à spectre positif).
Du coup, dans l'exos, U = I et S est diagonalisable.

Posté par
carpediemre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 25-01-17 à 17:57

merci

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 27-01-17 à 11:36

Voilà un petite rédaction pour le cas général. (En plusieurs post)

D'abord les notations classiques :

\mathcal Mn(\R) : \text{ la }\R \text{-algèbre des matrices carrées réelles d'ordre n.}
\mathcal M_{n,1}(\R) : \text{ le } \R\text{-espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne.}
\text{Pour une matrice A de }\mathcal Mn(\R),~^tA \text{ est sa matrice transposée, rg(A) son rang et Tr(A) sa trace.}
I_n : \text{la matrice unité de }\mathcal Mn(\R).
\mathcal S_n(\R) \text{ : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de }\mathcal Mn(\R)
\mathcal A_n(\R) \text{ : le sous-espace vectoriel des matrices anti-symétriques de }\mathcal Mn(\R)
\mathcal S^+(\R) \text{ : l'ensemble des matrices positives de }\mathcal S_n(\R) \text{ c'est-à-dire des matrices A de } \mathcal S_n(\R) \text{ vérifiant : }\\ \text{pour toute matrice } X \in \mathcal M_{n,1}(\R) , ^tX A X \geq 0
\mathcal Gl_n(\R ) \text{: le groupe des matrices inversibles de } \mathcal Mn(\R) .
\mathcal O_n(\R ) \text{: le groupe des matrices réelles orthogonales c'est-à-dire des matrices M de }\mathcal Mn(\R) \text{ vérifiant : } ^tM.M = I_n.

Exemple préliminaire :

Soit \Gamma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ -2& -1 &-1 \\ -1& -1 & -2 \end{pmatrix}. On pose H =~^t\Gamma.\Gamma = \begin{pmatrix} 6 & 5 & 5\\ 5& 6 &5 \\ 5& 5 & 6 \end{pmatrix}

Diagonaliser H : son polynôme caractéristique est \det(H-XI_n) = -(X-16)(X-1)^2

- La vp 16 est associée au vecteur propre e_1 =\dfrac{1}{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} que je choisis de norme 1.

- La vp 1 est associée aux vecteurs propres e_2 =\dfrac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1\end{pmatrix} et e_3 = \dfrac{1}{\sqrt 6}\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 1\end{pmatrix} que je choisis orthonormés.

On note D = diag(4,1,1)

La matrice de passage P = (e_1,e_2,e_3) va permettre de diagonaliser H et on a H = PD^2P^{-1}

On note au passage que ^tP.P = I_3 donc P \in \mathcal O_3(\R ) et donc \boxed {D^2 = P^{-1}HP =~^tP.H.P}.

On pose S = PDP^{-1} \in \mathcal S_3^+(\R).

La relation \boxed {\Gamma = US} définit une matrice U \in \mathcal O_3(\R ). En effet :

U = \Gamma.S^{-1}

^tU.U =~^t(S^{-1})^t\Gamma \Gamma.S^{-1}=~^t(S^{-1}).H.S^{-1}=~^t(PD^{-1}P^{-1}).H.(PD^{-1}P^{-1})

^tU.U = ~^t(P^{-1})^t(D^{-1})^tP.H.P.D^{-1}.P^{-1} = ~^t(P^{-1}).^t(D^{-1}).D^2.D^{-1}.P^{-1} = P.P^{-1} = I_3

On a  U=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -1& 0 & 0 \\ 0& 0 & -1 \end{pmatrix}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 27-01-17 à 13:14

\blue \boxed {\text {CALCUL de la distance de A à }\mathcal O_n(\R ) \text { où } A \in \mathcal M_n(\R)}

\red \boxed {\text {A- Théorème de la décomposition polaire.}}

\blue \text {1- Soit S} \in \mathcal S_n(\R). \text{Alors }S \in \mathcal S^+(\R) \Leftrightarrow \text{ toutes les vp de S sont positives ou nulles.}

Le théorème spectral affirme que tout opérateur auto-adjoint en dimension finie est diagonalisable dans une base de vecteurs orthonormés. Par suite, S l'est.

Soit E= \{\lambda_1, ... , \lambda_n \} l'ensemble de ses valeurs propres et B = \{e_1, ... , e_n\} la base formée de vecteurs propres orthonormés correspondants.

Soit alors X \in \mathcal M_{n,1}(\R)=\sum_{i=1}^{n}{x_i.e_i}. Il vient :

^tX S X = \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i.x_i^2.||e_i||^2}=\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i.x_i^2}

Autre façon de l'écrire : ^tX S X = (x_1, ... , x_n)\begin{pmatrix}\lambda_1.x_1\\ \vdots\\ \lambda_n.x_n\end{pmatrix}

Conclusion \blue \boxed {^tX S X \geq 0 \Leftrightarrow (\forall i)(\lambda_i \geq 0)}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 27-01-17 à 14:49

\blue \text {2- Soit A} \in \mathcal M_n(\R). \text{Montrer que}~^tA.A \in \mathcal S_n^+(\R)

Il est clair que ^tA.A \in \mathcal S_n(\R) puisque ^t(^tA.A) =~^tA.^t(^tA) =~^tA.A

Soit X \in \mathcal M_{n,1}(\R). Il vient, en notant A.X = \begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}

Conclusion \blue \boxed {^tX(^tA.A)X=~^t(A.X).(A.X)=\sum_{i=1}^{n}{a_i^2} \geq 0}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 27-01-17 à 15:18

\blue \text {3- Soit A} \in \mathcal M_n(\R)\\ \blue \text{On suppose qu'il existe une matrice diagonale D = diag}(d_1, ... ,d_n) \text { à termes positifs telle que }~^tA.A = D^2\\ \blue \text{On note } A_1, ... , A_n \text { les matrices de } \mathcal M_{n,1}(\R) \text { qui forment les colonnes de la matrice A}.

\blue \text {3-a. Pour tout couple d'entiers naturels }(i,j) \text { compris entre 1 et n, évaluer }^tA_i.A_j. \\ \blue \text{En particulier, si }d_i = 0 \text{ que vaut } A_i \text{ ?}

\text {En fait, on a tout simplement }(^tA.A)_{i,j} =~^tA_i.A_j \text { puisque }(^tA.A) =  \underbrace{\begin{pmatrix}^tA_1\\ \vdots\\ ^tA_n\end{pmatrix}}_{\text{colonne de matrices ligne}}.\underbrace{(A_1, ... , A_n)}_{\text{ligne de matrices colonne}}

Il s'ensuit que \blue \boxed {^tA_i.A_j = \delta_{i,j}.d_i^2} où \delta_{i,j} est le symbole de Kronecker.

En particulier, \blue \boxed {d_i = 0 \text{ entraîne que }A_i \text{ est la matrice colonne nulle.}}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 27-01-17 à 22:44

\blue \text {3-b. Montrer que l'on peut trouver une base orthonormée }(E_1, ... , E_n) \text{ de } \mathcal M_n(\R) \text{ (par rapport au produit scalaire canonique }\langle X,Y\rangle =~^tX.Y \text{ de } \mathcal M_n(\R) \text{)}  \\ \blue \text{~~~~~~~telle que, pour tout entier naturel i entre 1 et n, } A_i = d_i.E_i.

Deux cas sont à observer :

1° cas : tous les d_i > 0

On a vu à la question 3-a que la famille (A_1, ... , A_n) \text{ de } \mathcal M_n(\R) formait une base orthogonale de ce dernier.

Or ^tA_i.A_i = d_i^2 = \langle A_i,A_i\rangle^2 = ||A_i||^2 ce qui implique que ||A_i|| = d_i

On pose donc E_i = \dfrac{A_i}{d_i} et on a bien \blue \boxed {A_i = d_i.E_i \text { et } ||E_i||=1,~\forall~ 1 \leq i \leq n}

2° cas : il existe d_i = 0 (et donc un seul par hypothèse)

La famille (A_1, ... , A_{i-1}, A_{i+1}, ..., A_n) \text{ de } \mathcal M_n(\R) forme une famille libre orthogonale de ce dernier.

On pose à nouveau E_j = \dfrac{A_j}{d_j} pour tout 1 \leq j \neq i \leq n

La famille (E_1, ... , E_{i-1}, E_{i+1}, ..., E_n) \text{ de } \mathcal M_n(\R) forme une famille libre orthonormale de ce dernier.

On complète donc cette famille par un vecteur non nul B_i \notin E_1 \oplus ... \oplus E_{i-1} \oplus E_{i+1}\oplus ... \oplus E_n .

On orthonormalise cette famille par le procédé classique de Gram-Schmidt en posant \tilde E_i = \sum_{j=1,j\neq i}^{n}{B_i - \langle B_i,E_j\rangle E_j}

puis en posant E_i = \dfrac{\tilde E_i}{||\tilde E_i||}

La famille (E_1, ... , E_n) \text{ de } \mathcal M_n(\R) forme alors une base orthonormale de ce dernier.

On a de plus (^tA_i.A_i)(E_i) = 0 = d_i.E_i et on a vu que A_i était le vecteur colonne nul.

Donc on a bien \blue \boxed {A_i = d_i.E_i \text { et } ||E_i||=1, ~\forall~ 1 \leq i \leq n}}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 27-01-17 à 23:41

\blue \text {3-c. En déduire qu'il existe une matrice E de }\mathcal O_n(\R) \text{ telle que } A = E.D

Posons E = (E_1, ..., E_n) : c'est une ligne de matrices colonne

On a alors ^tE= \begin{pmatrix}^tE_1\\ \vdots\\ ^tE_n\end{pmatrix} : c'est une colonne de matrices ligne

D'où il vient que ^tE.E=diag~(\langle E_1,E_1\rangle, ... , \langle E_n,E_n\rangle)=I_n en vertu de l'orthonormalité de la famille des Ei

Donc \blue \boxed {E \in \mathcal O_n(\R)}

Par ailleurs (A_1, ... , A_n) = (d_1E_1, ... , d_nE_n) donc en identifiant les coefficients dans chaque colonne j, on obtient, pour chaque ligne i :

A_{i,j} = E_{i,j}.d_j=E_{i,j}.d_j.\delta_{j,j}=\sum_{k=1}^{n}{E_{i,k}(d_k.\delta_{k,j})}

Rappel : \delta_{m,n} est le symbole de Kronecker.

On pose D_{k,j} = d_k.\delta_{k,j} et on obtient :

A_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}{E_{i,k}.D_{k,j}}

D'où \blue \boxed {A = E.D}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 28-01-17 à 00:29

EXEMPLE

\blue A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ -2 & 0 & 2\\  2& -1 &1 \end{pmatrix} ... ^tA = \begin{pmatrix}2 & -2 & 2\\ 1 & 0 & -1\\  1& 2 &1 \end{pmatrix}

^tA.A=D^2=\begin{pmatrix}12 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\  0& 0 &6 \end{pmatrix} ... \blue D=\begin{pmatrix}2\sqrt 3 & 0 & 0\\ 0 & \sqrt 2 & 0\\  0& 0 &\sqrt 6 \end{pmatrix}

\blue E = \dfrac{1}{\sqrt 6}\begin{pmatrix}\sqrt 2 &\sqrt 3  &1 \\ -\sqrt 2  &0 &2 \\\sqrt 2&-\sqrt 3 &1\end{pmatrix}

Vous pouvez vérifier que E est orthogonale et que A = E.D

Posté par
jandri Correcteurre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 28-01-17 à 10:47

Bonjour jsvdb,

C'est très bien rédigé!
Pour ton dernier exemple, la matrice A étant inversible on peut calculer directement E=AD^{-1}.

Dans ton message du 27-01-17 à 22:44 il y a des coquilles.
D'abord c'est (A_1, ... , A_n) \text{ de } \mathcal M_{n,1}(\R) et pas M_n(\R) (même chose pour (E_1,...,E_n)).

Ensuite dans le deuxième cas, il peut y avoir plusieurs d_i nuls.
On peut supposer d_1,...,d_k strictement positifs et d_{k+1}=...=d_n=0.
En posant E_i=\dfrac1{d_i}A_i pour 1\leq i\leq k, la famille (E_1,...,E_k) est une famille orthonormale que l'on peut compléter en une base orthonormale de \mathcal M_{n,1}(\R).
La matrice E de colonnes (E_1,...,E_n) est alors une matrice orthogonale qui vérifie bien A=ED.

Posté par
carpediemre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 28-01-17 à 11:57

certes ... mais elle est où la réponse à la consigne :

Citation :
\blue \boxed {\text {CALCUL de la distance de A à }\mathcal O_n(\R ) \text { où } A \in \mathcal M_n(\R)}
??

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 28-01-17 à 12:17

Patience, ce n'est pas terminé ...

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 28-01-17 à 12:39

@jandri : merci pour ton appréciation et le "décoquillage".

Par contre, peux-tu me dire, pour la question 1- à 27-01-17 à 13:14, s'il est correct ou non d'utiliser le théorème spectral pour dire que S se diagonalise sur une base orthonormée ? Ou y-a-t-il une méthode plus direct en utilisant uniquement les hypothèses de par et d'autre de l'équivalence :

Le sens est évident : on prend un vecteur propre et on regarde ce qui se passe.

Le sens réciproque m'échappe : si on suppose toutes les vp positives, alors si je prends un vecteur propre, tout va bien, mais sinon ?

Ce qui me fait dire ça, c'est que la question suivante demande de montrer que si A et B sont deux matrices vérifiant tAA = tBB alors il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D à termes positifs telles que (P-1)(tAA)P=(P-1)(tBB)P = D2.

Donc si j'utilise le théorème spectral au début, ç'est un peu le serpent qui se mord la queue, non ?

En te remerciant pour ta réponse.

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 28-01-17 à 15:30

Bon en fait, on est obligé d'utiliser le théorème spectral si on veut répondre à la question.
Ce qui est logique car le sens est vrai pour toute matrice positive (symétrique ou pas) tandis que la réciproque est surement vraie pour les matrices symétriques.

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 30-01-17 à 12:46

\blue \text {4. Soient A et B deux matrices de } \mathcal M_n(\R) \text{ telles que } ^tA.A =~ ^tB.B

\blue \text {4.a Montrer qu'il existe une matrice diagonale D et une matrice orthogonale P telles que : } P^{-1}~^tA.A.P =~P^{-1}~^tB.B.P =D^2

Comme ^tA.A \in \mathcal S_n^+(\R), on sait que toutes les valeurs propres de ^tA.A sont positives ou nulles, qu'il existe une base orthonormale de vecteurs propres dans laquelle ^tA.A se diagonalise en la matrice diagonale D'=diag(\lambda_1^2, ... , \lambda_n^2).
Soit D la la matrice à coefficients tous positifs ou nuls telle que D^2 = D'. \blue \boxed {D \text { est diagonale.}}
Soit P = (P_1, ... , P_n) la matrice P écrite sous forme de matrices colonne, et qui diagonalise ^tA.A selon les modalités mentionnées ci-dessus.
Il vient alors de façon évidente :

^tP.P=\begin{pmatrix}^tP_1\\ \vdots\\ ^tP_n\end{pmatrix}(P_1, ... , P_n) = I_n

Et on conclut que \blue \boxed {P \in \mathcal O_n(\R)}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 30-01-17 à 13:07

\blue \text {4.b Montrer qu'il existe une matrice }U \in \mathcal O_n(\R) \text{ telle que }A=U.B

Nous venons de voir que P^{-1}~^tA.A.P = D^2 = P^{-1}~^tB.B.P avec D matrice diagonale et P matrice orthogonale. Il vient donc :
_______________________

D'une part : P^{-1}~^tA.A.P =~^tP~^tA.A.P=~^t(A.P)(A.P)=D^2.

En posant X = A.P, on a que ^tX.X = D^2. Ce qui nous amène, en vertu du résultat 3.c à l'existence d'une matrice X' orthogonale telle que X = A.P = X'.D~(1).
__

D'autre part : P^{-1}~^tB.B.P =~^tP~^tB.B.P=~^t(B.P)(B.P).

En posant Y = B.P, on a que ^tY.Y = D^2. Ce qui nous amène également, en vertu du résultat 3.c à l'existence d'une matrice Y' orthogonale telle que Y = B.P = Y'.D.
_______________________

On peut alors écrire D = Y'^{-1}.B.P que l'on réinjecte dans (1) pour obtenir :

A.P = X'.D = X'.Y'^{-1}.B.P d'où A = X'.Y'^{-1}.B puisque P est orthogonale.

En posant \blue \boxed {U = X'.Y'^{-1}}, il vient ^tU = ~^tY'^{-1}.~^tX'=Y'.X'^{-1}=U^{-1} et donc \blue \boxed {U \in \mathcal O_n(\R)}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 30-01-17 à 14:44

\blue \text {5. Déduire de ce qui précède le théorème de décomposition polaire : }

\blue \text {Soit }A \in \mathcal M_n(\R).\\\blue \text{Il existe un couple de matrice }(O,S) \in \mathcal O_n(\R) \times \mathcal S_n^+(\R) \text{ telles que } A = O.S.

Simplement, nous avons vu que \blue \boxed {S=~^tA.A \in \mathcal S_n^+(\R)} et donc en vertu du résultat de la question 4.b, il existe une matrice \blue \boxed {O \in \mathcal O_n(\R)} telle que \blue \boxed {A=O.~^tA.A=O.S}

(NB : on peut également établir l'unicité de la matrice S et même l'unicité O si A est de plus inversible dans cette décomposition).

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 30-01-17 à 16:46

\red \boxed {\text {B- Calcul de }d(A,\mathcal O_n(\R))}

\blue \text {6. Montrer que pour toute matrice de } \mathcal M_n(\R) \text { et toute matrice }\Omega \in \mathcal O_n(\R), ||M.\Omega ||=||\Omega.M||=||M||

Rappel de notation : ||X|| = (Tr(^tX.X))^{1/2} = \langle X|X \rangle^{1/2}

On a ^t\Omega = \Omega^{-1} et donc :

\bullet ||\Omega.M||^2 = Tr(~^t(\Omega.M).(\Omega.M)) = Tr (~^tM.\Omega^{-1}.\Omega.M) = Tr(^tM.M) = ||M||^2

\bullet ||M.\Omega||^2 = Tr(~^t(M.\Omega).(M.\Omega)) \underset{\text {symétrie du p.s.}}{=} Tr((M.\Omega).~^t(M.\Omega))= Tr (M.\Omega.\Omega^{-1}.~^tM) = Tr(M.~^tM) = ||M||^2

D'où \blue \boxed {||M.\Omega ||=||\Omega.M||=||M||}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 30-01-17 à 17:04

\blue \text {Dans la suite, }A \in \mathcal M_n(\R), U \in \mathcal O_n(\R), S \in \mathcal S_n^+(\R) \text{ telles que } A = U.S \\ \blue \text{Il existe une matrice diagonale D, et une matrice } P \in \mathcal O_n(\R) \text{ telles que } S = P.D.P^{-1}

\blue \text {7.a Montrer que pour toute matrice }\Omega \in \mathcal O_n(\R), ||A-\Omega|| = ||S-U^{-1}\Omega||

En appliquant la question 6, on obtient immédiatement, comme U est orthogonale :

\blue \boxed {||A-\Omega|| = ||U.(S-U^{-1}.\Omega)|| = ||S-U^{-1}\Omega||}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 30-01-17 à 17:16

\blue \text {7.a.(bis) Montrez que } d(A, \mathcal O_n(\R)) = d(D,\mathcal O_n(\R))

On remplace simplement S par sa définition et on obtient, toujours d'après la question 6 :

||S-U^{-1}\Omega|| = ||P.(D-P^{-1}.U^{-1}.\Omega.P).P^{-1}||=||D-P^{-1}.U^{-1}.\Omega.P||=||D-O_{(P,\Omega,U)}||

Or la matrice O_{(P,\Omega,U)} = P^{-1}.U^{-1}.\Omega.P \in \mathcal O_n(\R) et parcourt \mathcal O_n(\R) quand \Omega parcours \mathcal O_n(\R). Le résultat cherché se déduit de cette constatation.

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 30-01-17 à 17:18

De même, on déduit \blue \text d(A, \mathcal O_n(\R)) = \text d(S,\mathcal O_n(\R))

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 31-01-17 à 15:48

\blue \text {8. On note } D = diag(\lambda_1, ... , \lambda_n).

\blue \text {8.a Pour toute matrice } \Omega \in \mathcal O_n(\R), \text{ calculer } ||D-\Omega||^2.

Il suffit de remplacer la norme par son expression et on trouve :

||D-\Omega||^2 = Tr(~^t(D-\Omega)(D-\Omega))=Tr((D-\Omega)((D-\Omega))=Tr(D^2 - 2D.O + \Omega^2)

On a :

- Tr(D^2) = \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i^2}

- Tr(\Omega^2) = Tr(\Omega)^2=Tr(\Omega)Tr(\Omega)=Tr(\Omega)Tr(~^t\Omega)=Tr(\Omega.~^t\Omega)=Tr(I_n) =n d'où le résultat cherché :

\blue \boxed {||D-\Omega||^2 = \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i^2} - 2Tr(D\Omaga) +n}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 31-01-17 à 15:50

Erratum : \blue \boxed {||D-\Omega||^2 = \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i^2} - 2Tr(D\Omega) +n}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 31-01-17 à 17:22

\blue \text {8.b Montrer que } Tr(D.\Omega) \leq Tr(D) \text { et en déduire } d(D,\mathcal O_n(\R))

On a : Tr(D.\Omega) = Tr(~^tD.\Omega) = \langle D,\Omega \rangle Or :

\langle D,\Omega \rangle = \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i.o_{i,i}} \leq \left(\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i}\right) .\left(\sum_{i=1}^{n}o_{i,i}\right) \leq \left(\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i}\right) .\left(\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}o_{i,j}^2\right)= \left(\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i}\right)\det(\Omega)

On a donc établi que  \blue \boxed {Tr(D.\Omega) \leq \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i} = Tr(D)}

D'après la question 8.a, on a alors ||D - \Omega||^2 \geq  \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i^2} - 2\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i} +n} = \sum_{i=1}^{n}(\lambda_i^2-2\lambda_i+1)=\sum_{i=1}^{n}(\lambda_i-1)^2=||D-I_n||^2 et ce pour tout \Omega \in \mathcal O_n(\R).

Comme I_n \in \mathcal O_n(\R), on conclut que \blue \boxed {d(D,\mathcal O_n(\R)) = ||D-I_n||}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 31-01-17 à 22:54

\blue \boxed {\text {9. CALCULER la distance de A à }\mathcal O_n(\R ) \text { où } A \in \mathcal M_n(\R)}

Rappel des notations :

\red A \in \mathcal M_n(\R), U \in \mathcal O_n(\R), S \in \mathcal S_n^+(\R) \text{ telles que } A = U.S \\ \red \text{Il existe une matrice diagonale D, et une matrice } P \in \mathcal O_n(\R) \text{ telles que } S = P.D.P^{-1}

Grâce à la question 7.a nous avons établi que  \forall \Omega \in \mathcal O_n(\R ), ||A - \Omega|| = ||S-U^{-1}\Omega||

Grâce à la question 7.a(bis) nous avons établi que  \forall \Omega \in \mathcal O_n(\R ), ||S-U^{-1}\Omega||= ||D-P^{-1}.U^{-1}.\Omega.P||

En vertu de la question 8.b, il nous est possible d'affirmer que la quantité ||D-P^{-1}.U^{-1}.\Omega.P|| sera minimale pour P^{-1}.U^{-1}.\Omega.P = I_n.

On résout donc en \Omega l'équation P^{-1}.U^{-1}.\Omega.P = I_n, ce qui donne \Omega = U

\blue \boxed {\text{CONCLUSION : d}(A, \mathcal O_n(\R )) = ||A-U||}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 31-01-17 à 23:08

Retour à l'exemple préliminaire :

\Gamma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ -2& -1 &-1 \\ -1& -1 & -2 \end{pmatrix}

Nous avions vu que \Gamma = U.S avec :

U=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -1& 0 & 0 \\ 0& 0 & -1 \end{pmatrix}

(Et S à calculer si le coeur vous en dit ... )

On a alors :

\blue \boxed {d(\Gamma, \mathcal O_n(\R )) = ||\Gamma-U|| = Tr \left(\begin{pmatrix}1&-1  &-1 \\1 &-1  &-1 \\1 &-1  &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &1  &1 \\-1 &-1  &-1 \\-1 &-1  &-1 \end{pmatrix}\right)^{1/2}=3}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 02-02-17 à 16:04

Il y a une erreur à ce niveau :

\blue \text {5. Déduire de ce qui précède le théorème de décomposition polaire : }

\blue \text {Soit }A \in \mathcal M_n(\R).\\\blue \text{Il existe un couple de matrice }(O,S) \in \mathcal O_n(\R) \times \mathcal S_n^+(\R) \text{ telles que } A = O.S.

Et j'avais écrit que \blue {S=~^tA.A \in \mathcal S_n^+(\R)} et déduit qu'en vertu du résultat de la question 4.b, il existe une matrice \blue \boxed {O \in \mathcal O_n(\R)} telle que \blue \boxed {A=O.~^tA.A=O.S}

C'est faux !

Il faut considérer la matrice S' = P.D.P^{-1} qui vérifie ^tS' = S' car P est orthogonale (donc P=~^tP^{-1}) et D est diagonale (donc ^tD = D)

Par ailleurs ^tS'.S' = P.D.P^{-1}.P.D.P^{-1} = P.D^2.P^{-1} =~^tA.A. La matrice S' vérifie donc les hypothèse de la question 4.a

Et donc on peut appliquer le résultat de la question 4.b à S' pour conclure qu'il existe une matrice \blue \boxed {O \in \mathcal O_n(\R)} telle que \blue \boxed {A=O.S'}

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 02-02-17 à 16:36

Exemple :

A = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix} non inversible.

O = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix} est orthogonale.

S' = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix} est symétrique.

A=O.S'

Posté par
jandri Correcteurre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 03-02-17 à 17:39

Bonjour jsvdb,

C'est toujours aussi bien rédigé!
Il y a cependant des erreurs dans les majorations du 8b.
La première inégalité est fausse et la somme double est égale à n et pas au déterminant de \Omega.
La majoration souhaitée est tout simplement:

\langle D,\Omega \rangle = \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i.o_{i,i}} \leq \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i} puisqu'on a o_{i,i}\leq1 et \lambda_i\geq0.

D'autre part on peut aller beaucoup plus vite et ne pas utiliser les questions 4, 6, 7.

1) Pour obtenir la décomposition polaire d'une matrice M on peut écrire:

^tM.M \in \mathcal S_n^+(\R) donc Q^{-1} ^tM.MQ=D^2 avec Q orthogonale et D=diag(d_1,...,d_n) avec d_i>0 pour i\leq r et d_i=0 pour i>r (r est le rang de M).
En posant A=MQ on a ^tA.A=D^2 d'où l'on déduit que les r premières colonnes de A forment une famille orthogonale (A_1,...,A_r), les n-r dernières sont nulles. On en déduit l'existence d'une matrice orthogonale B dont les r premières colonnes sont les A_i/d_i.
On a alors A=BD d'où M=(BQ^{-1})(QDQ^{-1})=PS.

2) Si \Omega est une matrice orthogonale:
||M-\Omega||^2=Tr( ^tM.M)-2Tr( ^t\Omega.M)+n est minimum quand Tr( ^t\Omega.M) est maximum.
Tr( ^t\Omega.M)=Tr( ^t\Omega.PQDQ^{-1})=Tr(OD) avec O=Q^{-1} ^t\Omega.PQ qui est orthogonale (avec les notations du 1).

Tr(OD)=\sum_{i=1}^{n}{d_i.o_{i,i}} \leq \sum_{i=1}^{n}{d_i} puisqu'on a o_{i,i}\leq1 et d_i\geq0 (égalité pour O=I_n c'est-à-dire \Omega=P).
On en déduit le minimum de ||M-\Omega||^2.

Posté par
jsvdbre : distance d'une matrice symétrique à On(IR) 03-02-17 à 17:50

Bonjour Jandri et merci pour les corrections que je vais étudier attentivement.
Effectivement, on peut aller plus vite, mais simplement, j'ai repris un sujet qui nous avait été posé 2ème année et je m'en rappelle, je l'avais littéralement boudé, sale note donc à la clé ... j'ai juste pris ma revanche sur certaines difficultés du passé.


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