Bonsoir,
soit x dans l'adhérence de A.
Quelle est la distance entre x et A ?

J'ai vu que c'était 0 et j'ai pu conclure mon exercice avec. On avait défini l'adhérence de cette façon dans le cours : le minimum de l'ensemble des fermés de E qui contiennent A d'où le fait que je ne connaisse pas cette définition alternative dans un espace métrique.
Merci beaucoup

Bonsoir !
Je ne vois pas comment tu as pu conclure en utilisant bêtement une distance nulle entre un point adhérent et la partie.
Peux-tu mettre le détail de ta démonstration ?

J'utilise d'abord le fait que A inclus dans adh(A) pour avoir l'inégalité d(x,adh(A)) <= d(x,A).
Pour l'autre inégalite:
Je prends un élément y appartenant à adh(A).
Pour tout a appartenant à A, j'ai N(x-a) <= N(x-y) + N(y - a) (inégalité triangulaire).
Je fais un double passage successif à l'inf et j'ai d(x,A) <= d(x,adh(A)) + d(A,adh(A)) d'où ma seconde inégalité.

Bien ce que je pensais !
Le dernier terme est probablement un lapsus et tu voulais dire ?

Pour tu as et pas les inégalités inverses.

Une indication : utiliser la définition de "borne inférieure".
Pour il existe tel que .
Pour il existe etc...
et tu obtiendras, grâce à l'inégalité triangulaire, ce qui permet de conclure.