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Distance entre un compact et un fermé disjoints
Bonsoir,
Je cherche à résoudre l'exercice suivant, en topologie (niveau L3) :
"Soit un espace métrique,
deux compacts disjoints.
1. Montrer qu'il existe tel que pour tout
et
on ait
.
2. Montrer que cela est faux si on suppose seulement et
fermés.
3. Le résultat reste-t-il vrai si on suppose compact et
fermé ?"
Je parviens à faire la 1 sans trop de difficulté en utilisant des sous-suites, pour la 2, on peut prendre une hyperbole et son asymptote, mais pour la 3 ? Cela m'a l'air faux, mais je ne parvient pas à trouver de contre exemple, donc si quelqu'un a une piste 
Merci d'avance !
Heu... je sais pas ce qu'est censé prouver la spirale logarithmique et son centre mais le resultat reste vrai si on prend A compact et B fermé.
Il suffit de remarquer que d(., B) est strictement positif et continue sur A donc minoré par un certain t strictement positif
Euh.. En effet j'ai été convaincu un peu trop vite ^^'
L'exemple de la spirale et de son centre paraissait joli, mais en fait je crois que la spirale n'est pas fermée (son centre appartient à son adhérence)
Merci pour ta réponse Poncargues. Par d(.,B) j'imagine que tu entends l'application qui a x dans A associe inf{d(x,y) | y dans B} ? (Je ne suis pas tout à fait familier avec cette notation)
Autant je vois bien comment montrer que d(A,.) > 0, car pour fixé, on
peut montrer que d(A,y) > 0 en utilisant la caractérisation séquentielle de la borne inf et la compacité de A (il existe une suite qui converge vers d(A,y) on a une sous suite
qui converge vers
, puis par continuité de la distance, on en déduit d(A,y) = d(x,y) > 0)
Autant pour d(.,B), comme B est seulement fermé, comment montre-t-on d(x,B) > 0 pour tout x dans A ?
Par la meme idée!
Si d(y,B) est nulle alors il existe (b_n) une suite de b tel que d(y,b_n) tend vers 0, mais donc b_n converge vers y, et donc y est dans B puisque B est fermé, et donc B et A ne sauraient etre disjoints.
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