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Niveau Licence Maths 1e ann
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distance entre un point et un ensemble

Posté par
antoo
21-11-09 à 21:04

Bonjour,
voici l'énoncé de mon exercice qui me pose des problèmes

____________________________________________________________________________

Soit (E,d) un espace métrique et A,B \subset\ E , non vide

On définit la distance d'un point à A par : dist(x,A) = inf d(x,y), y \in A
1) montrer que dist(x,A)=0 \Leftrightarrow x \in \bar{A}

2) montrer que x --> dist(x,A) est lipschitzienne donc continue

3) montrer que A \subset\ B \Rightarrow dist(x,B) \le dist(x,A)

_____________________________________________________________________________


1) je pense que pour tout x, on a clairement, dist(x,A) \ge dist(x,\bar{A})
   de plus on a d(x,y) \ge  0 toujours vrai

donc dist(x,\bar{A})  donc x \in \bar{A}


2) on doit montrer que pour tout x,y \in E , | dist(x,A - dist(y,A) |  \le k |x-y|   (définition de k-lipschitzien )

on a:
  dist(x,A) \le dist(x,y) + dist(y,A)
soit:
  dist(x,A) - dist(y,A) \le d(x,y)

[mais j'ai l'impressionque c pas bon,  je sais pas si sa marche si y n'appartient pas à y]


3) Ici, je fais trois cas,
d'abord, x \in A
apres x \in A mais pas dans A

ces cas là me posent pas de probème

mais quand je considère x pas dans B, là ça coince, je visualise graphiquement mais j'arrive pas à l'expliquer.


donc voilà, si une personne pouvait m'aider, je la remercie par avance

Posté par
Blitz
re : distance entre un point et un ensemble 21-11-09 à 21:31

Bonsoir ta réponse 2) me semble juste, par contre c'est un peu étrange que tu utilises le résultat de la question 3) pour justifier ton 1).

Posté par
antoo
re : distance entre un point et un ensemble 21-11-09 à 21:42

oui c un peu vrai pour la 1)

mais je ne sais pas comment montrer que dist(x,A) \ge dist(x,\bar{A})

je retrouve le même problème après avec la question 3)

Posté par
Arkhnor
re : distance entre un point et un ensemble 21-11-09 à 22:03

Bonsoir.

Pour la 2), ça n'est pas correct, ou alors il faut prouver que l'inégalité triangulaire reste vrai avec les distances entre un point et un ensemble.

Pour la 1), supposons que dist(x,A) = 0, c'est à dire \inf_{y\in A}d(x,y) = 0.
D'après une propriété élémentaire des bornes inf, on sait que \forall \epsilon > 0, \exists y_{\epsilon} \in A tel que \inf_{y\in A} d(x,y) \le d(x,y_{\epsilon}) < \epsilon.

Par conséquent, pour tout \epsilon > 0, la boule centrée en x de rayon \epsilon rencontre A, ce qui signifie que x \in \bar{A}.

Tout le reste de l'exercice est basé sur des manipulations de ce type sur les bornes inf.

Posté par
antoo
re : distance entre un point et un ensemble 22-11-09 à 12:51

je te remercie Arkhnor

Je suis d'accord pour la question 1, enfin cette méthode me déstabilise un peu du fait que mon prof de TD n'a jamais utiliser cette méthode, mais après tout si sa marche ...
Par contre pour la question 2), je ne vois pas trop comment utiliser la borne inf

Enfin, je me suis repenché sur la question 2) et voici mon raisonnement,

tout d'abord je cherche à prouver que dist(x,F) \le d(x,x') + d(x',y)  pour tout x, x' , on appellera (1) cette inégalité

on a: dist(x,F) = inf d(x,y) y\in F
                \le d(x,y)
                \le d(x,x') +  d(x',y)  en utilisant l'inégalité du triangle


ensuite,

on a:
dist(x,F) - d(x',y) \le d(x,x')  

après je résonne en 2 cas,

a) si dist(x,F) - dist(x',F) >0  
alors là pas de problème, on a -d(x,x') \le d(x,F) - d(x',F) \le  d(x,x')


b) sinon,

dist(x,F) - dist(x',F) < 0 < d(x,x')
or  dist(x',F) - dist(x,F) \le d(x',x)  car (1) marche quel que soient x, x'

donc | dist(x,F) - dist(x',F) |  \le  d(x,x')  dans ce cas

Donc, cela marche dans tout les cas

Je ne sais pas si c'est très clair, mais le raisonnement est-il bon ?



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