Bonjour,
voici l'énoncé de mon exercice qui me pose des problèmes
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Soit (E,d) un espace métrique et A,B E , non vide
On définit la distance d'un point à A par : dist(x,A) = inf d(x,y), y A
1) montrer que dist(x,A)=0 x
2) montrer que x --> dist(x,A) est lipschitzienne donc continue
3) montrer que A B
dist(x,B)
dist(x,A)
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1) je pense que pour tout x, on a clairement, dist(x,A) dist(x,
)
de plus on a d(x,y) 0 toujours vrai
donc dist(x,) donc x
2) on doit montrer que pour tout x,y , | dist(x,A - dist(y,A) |
k |x-y| (définition de k-lipschitzien )
on a:
dist(x,A) dist(x,y) + dist(y,A)
soit:
dist(x,A) - dist(y,A) d(x,y)
[mais j'ai l'impressionque c pas bon, je sais pas si sa marche si y n'appartient pas à y]
3) Ici, je fais trois cas,
d'abord, x
apres x mais pas dans A
ces cas là me posent pas de probème
mais quand je considère x pas dans B, là ça coince, je visualise graphiquement mais j'arrive pas à l'expliquer.
donc voilà, si une personne pouvait m'aider, je la remercie par avance
Bonsoir ta réponse 2) me semble juste, par contre c'est un peu étrange que tu utilises le résultat de la question 3) pour justifier ton 1).
oui c un peu vrai pour la 1)
mais je ne sais pas comment montrer que dist(x,A) dist(x,
)
je retrouve le même problème après avec la question 3)
Bonsoir.
Pour la 2), ça n'est pas correct, ou alors il faut prouver que l'inégalité triangulaire reste vrai avec les distances entre un point et un ensemble.
Pour la 1), supposons que dist(x,A) = 0, c'est à dire .
D'après une propriété élémentaire des bornes inf, on sait que ,
tel que
.
Par conséquent, pour tout , la boule centrée en
de rayon
rencontre
, ce qui signifie que
.
Tout le reste de l'exercice est basé sur des manipulations de ce type sur les bornes inf.
je te remercie Arkhnor
Je suis d'accord pour la question 1, enfin cette méthode me déstabilise un peu du fait que mon prof de TD n'a jamais utiliser cette méthode, mais après tout si sa marche ...
Par contre pour la question 2), je ne vois pas trop comment utiliser la borne inf
Enfin, je me suis repenché sur la question 2) et voici mon raisonnement,
tout d'abord je cherche à prouver que dist(x,F) d(x,x') + d(x',y) pour tout x, x' , on appellera (1) cette inégalité
on a: dist(x,F) = inf d(x,y) y F
d(x,y)
d(x,x') + d(x',y) en utilisant l'inégalité du triangle
ensuite,
on a:
dist(x,F) - d(x',y) d(x,x')
après je résonne en 2 cas,
a) si dist(x,F) - dist(x',F) >0
alors là pas de problème, on a -d(x,x') d(x,F) - d(x',F)
d(x,x')
b) sinon,
dist(x,F) - dist(x',F) < 0 < d(x,x')
or dist(x',F) - dist(x,F) d(x',x) car (1) marche quel que soient x, x'
donc | dist(x,F) - dist(x',F) | d(x,x') dans ce cas
Donc, cela marche dans tout les cas
Je ne sais pas si c'est très clair, mais le raisonnement est-il bon ?
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