Niveau LicenceMaths 2e/3e a

distance intégrale

Posté par
Nyadis 08-10-19 à 23:26

soit f et g des fonction continues sur un segment [à,b]
on aimerais montrer que
d(f,g)=(_[à,b] |f (x)-g (x)|² )^1/2

est une distance

les premieres hypothèse ne me pose pas de problème mais suis bloqué au niveau de l'inégalité triangulaire

j'aimerais svp avoir quelques essaie de solutions.

Posté par re : distance intégrale 08-10-19 à 23:39

Bonjour
c'est une norme euclidienne : l'inégalité triangulaire résulte de Cauchy Schwarz

Posté par re : distance intégrale 09-10-19 à 02:07

lafol @ 08-10-2019 à 23:39

Bonjour
c'est une norme euclidienne : l'inégalité triangulaire résulte de Cauchy Schwarz

merci.
j'y ai pensé mais d'après l'inégalité de cauchy avec la forme intégrale . comment peut on aboutir à ce résultat?
le changement de variable nécessaire

Posté par re : distance intégrale 09-10-19 à 02:45

A partir du moment où tu as une norme, on s'en fiche de la forme qu'elle a.

$d(f,g) = ||f-g||_{L^2([a,b])}$

Par conséquent, l'inégalité triangulaire de ta distance est héritée de celle de ta norme.

$d(f,g) = ||f-h+h-g||_2 \leq ||f-h||_2+||h-g||_2 = d(f,h)+d(h,g)$

Rectif : ça résulte de l'inégalité de Minkowski

Cauchy-Schwarz c'est $\langle f,g \rangle \leq ||f||_2||g||_2$

Posté par re : distance intégrale 09-10-19 à 06:52

$||x+y||^2 =<x+y,x+y>=||x||^2+2<x,y>+||y||^2 \\ \leq ||x||^2+2||x||.||y||+||y||^2=(||x||+||y||)^2$ c'est pas de l'utilisation de CS ?

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