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distance sur R

Posté par
romu 13-03-07 à 01:05

Bonsoir tout le monde,
je voudrais montrer que l application d : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} telle que d(x,y) = \frac{|x-y|}{1+|x-y|} est une distance sur \mathbb{R}.
Cependant je n arrive pas à montrer la propriété de l'inégalité triangulaire :
\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ,\ d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) .

Je remercie d'avance ceux qui voudront bien accorder un peu de temps à on problème,
bonne soirée à tous !

Posté par
Cauchyre : distance sur R 13-03-07 à 10:44

BOnjour,

on a |x-z|<=|x-y|+|y-z|.

x/(1+x) est croissante sur R+.

Posté par
Roulianere : distance sur R 13-03-07 à 11:08

Bonjour,

J'avais pensé à ça Cauchy, mais ça veut dire qu'il faut considérer au début x<y<z, mais alors ça marchera plus pour tout (x,y,z), non?

Posté par
lafol Moderateurre : distance sur R 13-03-07 à 11:12

bonjour,
je pense que l'idée de Cauchy était d'utiliser la croissance avec |x-z| et |x-y|+|y-z| ?
Mais sa fonction n'étant pas linéaire, il reste du travail pour passer à d(x,y)+d(y,z)

Posté par
Roulianere : distance sur R 13-03-07 à 11:17

Merci Lafol.

Ben si ça se règle en 2 lignes après, non ?

Posté par
lafol Moderateurre : distance sur R 13-03-07 à 11:22

peut-être, je n'ai pas vraiment cherché
Comme d(x,y)+d(y,z)=\frac{|x-y|+|y-z|+2|x-y||y-z|}{1+|x-y|+|y-z|+|x-y||y-z|}
ça se fait plus vite en utilisant la croissance plutôt à partir de |x-z|\leq|x-y|+|y-z|+|x-y||y-z|

Posté par
Roulianere : distance sur R 13-03-07 à 11:26

Ben si on dit :

On a |x-z| \le |x-y| + |y-z| , or la fonction x --> x/(1+x) est croissante sur R+ donc : 3$ \frac{|x-z|}{1+|x-z|} \le \frac{|x-y| + |y-z|}{1+|x-y| + |y-z|} , c'est à dire : 3$ \frac{|x-z|}{1+|x-z|} \le \frac{|x-y|}{1+|x-y| + |y-z|} + \frac{|y-z|}{1+|x-y| + |y-z|} .

Ensuite on minore les dénominateur et on arrive à ce que l'on veut.

Posté par
lafol Moderateurre : distance sur R 13-03-07 à 11:28

En effet ! je ne suis pas bien réveillée, on dirait

Posté par
Roulianere : distance sur R 13-03-07 à 11:30

lol

J'aurais jamais pensé à cette astuce d'utiliser la croissance ....

Posté par
geo3re : distance sur R 13-03-07 à 13:18

Bonjour
Belle question
Bien vu Cauchy : moi non plus je n'aurais pas pensé  à utiliser la croissance de x/(1+x)
autrement c'est dur
Comme il s'agit de modules x,y, et y peuvent être quelconques
je dirais on majore les dénominateurs => on minore les inverses
1+|x-y|+|y-z| 1+|x-y|  ==>

\frac{1}{1+|x-y|+|y-z|}\le\frac{1}{1+|x-y|}

A+

Posté par
romure : distance sur R 13-03-07 à 13:44

merci pour votre aide, elle m'a été précieuse.
Je n avais effectivement pas pensé à la croissance de \frac{1}{1+x} sur \mathbb{R}^+.

Posté par
Cauchyre : distance sur R 13-03-07 à 20:12

De rien pour ma petite part

Posté par
lafol Moderateurre : distance sur R 14-03-07 à 09:59

Trop modeste, Cauchy ! ta "petite" part a joué le rôle de catalyseur, dans cette histoire !

Posté par
Cauchyre : distance sur R 14-03-07 à 15:04

Effectivement sans moi point de solution

Posté par
jeansebre : distance sur R 14-03-07 à 15:21

La classe, Cauchy! Quelle élégance, quelle économie de moyens!

C'est vraiment pour cela que j'aime les maths (... voir l'autre topic!).

Posté par
Cauchyre : distance sur R 14-03-07 à 15:25

Je vais rougir jeanseb


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