Bonjour,

Il y a quelque chose qui manque : la quantification en . Tel que tu as écrit les choses, le dépend de . Tu dois donner explicitement un argument pour le fait que est uniforme, c.-à-d. qu'il dépend uniquement de et pas de .

Tu veux dire que j'aurais du écrire:
?

Je dis que tu dois donner un argument pour justifier ce que tu viens d'écrire.
En effet, il te faut montrer la convergence uniforme de le suite vers .

C'est pourtant clair, non ? Où démontres-tu que ton ne dépend pas de ?
Je te vois juste démontrer que . Je ne vois nulle par d'argument pour .

Bon je n'ai pas vraiment compris ce qui n'allait pas alors j'ai tout repris:

Soit une suite de Cauchy dans B(X, Y).




On remarque que

est une suite de Cauchy dans qui est complet donc  converge.
Ce qui permet de dire que la suite de fonction   converge simplement sur Y vers


Avant de montrer la convergence uniforme vers f, je vais montrer que f se situe là où il faut:

On a donc et tel que
De plus, on a que


Donc
On utilise la symétrie et l'inégalité triangulaire puisque est une distance d'où
donc f est borné

Mais je vois pas comment montrer que

Ca ne te fait pas réagir d'écrire à plusieurs reprises

avec un blabla(m) qu ne dépend pas de m ?


Pour montrer que f est bornée, commence par montrer que si d est une distance sur un espace métrique E, alors pour tout , est continue ?
Quand tu auras fait ça, il sera trivial de montrer que si à partir d'un certain rang.

Corrections:

Citation :
[...]pour tout est continue

Citation :
[...]trivial de montrer que si

J'étais pas sur de pouvoir les retirer mais j'ai déjà montré que f est bornée ?

Difficile à dire, je ne comprends pas ce que tu essaies de faire avec tes m. De ce que j'en devine et tel que tu l'écris, peut dépendre de x, mais toi tu cherches un majorant M qui ne peut dépendre au pire que de y

Ah oui je viens de me relire, je me rends compte que c'est pas claire
et tel que
De plus, on a montré que f_n(x) converge donc:




Là l'idée est de réaliser passage à la limite ( via la continuité de d_Y )  ce qui permet d'obtenir f borné

Tu rechutes avec ton !

Prends tout simplement la valeur particulière , si ce n'est pas clair pour toi

Là je comprends pas (même en prenant ), mon expression dépend m pourquoi c'est faux d'utiliser de dire pour tout m>=n :

Le problème, c'est que tu essaies de travailler avec des quantifs jusqu'au bout alors que ce n'est pas nécessaire. En plus de ça tu confonds ce que tu poses avec ce qui est vrai pour tout xxx.

Ecris des phrases claires et ta preuve sera claire non seulement pour toi mais pour ton correcteur aussi!


est de Cauchy, donc pour en particulier, on peut dire qu'il existe tel que pour tous .

Soient et deux tels entiers.
D'après l'inégalité triangulaire, blabla blabla donc blablabla ce qui montre que pour tout x et donc que f est bornée.

Par pour tout x, j'entends que ni ni ne dépendent de x, et que f répond à la définition que tu donnes d'une fonction bornée.

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Maintenant méthode rapide : est continue donc et impliquent que en passant à la limite en n.

Le passage où tu as mis des blablabla n'est pas claire pour moi en partant de l'inégalité de Cauchy
Et dans ta méthode, il s'agit bien de et non d'un y?

Ben justement c'est la que se cache toute la subtilité de l'exercice.

Chaque f_n est une fonction bornée différente. Donc pour chaque n il existe et tels que .

Est-ce que (y_n) et sup (M_n) ont une limite compatible avec la limite simple f de (f_n) ?

Je pense que c'est le cas mais $y_n$ et $M_n$ n'ont pas d'expression, on ne peut pas exprimer leur limite

Ce qui nous amène à une autre difficulté, mais pas à cause des expressions. est libre d'être aussi grand qu'il veut et de tendre vers l'infini, ce qui ne fait pas nos affaires.

On sait que pour n donné, l'ensemble est non vide.
Soit . L'ensemble est non vide et minoré par 0. On peut donc considérer son inf, qu'on notera .

Soient p,n deux entiers naturels et soit . L'inégalité triangulaire dit que



Si tend vers 0 alors est de Cauchy et donc converge ers une limite y.
Par ailleurs, la convergence des I(n, y_n) implique que la suite est bornée donc qu'on peut considérer son sup et le noter M. On aura alors trouvé y et M tels que pour tout n et tout x, on a . En passant à la limite et en utilisant la continuité de et la convergence des vers une limite simple f(x) (car de Cauchy, comme tu l'as déjà remarqué), on arrive enfin à , pour tout x, ce qui montre que f est bornée.

Maintenant, il s'agit de trouver une suite telle que tende vers 0.
Si l'ensemble des est borné (supérieurement, dans R+) alors par Bolzano-Weierstrass il y a une sous-suite convergente et on pourra prendre pour dans ce qui précède.

Je reviens dans ce fil parce qu'il me semble qu'il s'est enlisé.

@Vantin : tu as démontré que le suite converge simplement vers une fonction .

1°) Commençons par montrer que lz convergence est uniforme sur . Soit . Tu sais que comme la suite est de Cauchy pour , on a :

Tu noteras bien que le est uniforme, il ne dépend pas de . On obtient alors, en faisant tendre vers l'infini :

La convergence uniforme est bien établie.

2°) Le fait que la fonction limite est bornée suit à peu près immédiatement, en utilisant le fait qu'il existe tel que et que est bornée.

Hello merci pour vos réponses,
Je ne vous cache pas que j'avais mis cet exercice en pause car j'y ai passé beaucoup de temps sans vraiment que cela claire pour moi même avec votre aide, je vais m'y repencher cette après midi en m'appuyant sur ce que vous m'avez dit !

Pourquoi a t-on le droit de faire tendre dans notre distance un seul point (la suite de fonction f_p évaluée en x) vers l'infini ? Je vois que cela marche, on a le résultat mais je comprends pas l'idée du raisonnement derrière

Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas. Qu'est-ce qui te pose problème avec le passage à la limite ?
Tu n'es pas convaincu que puisque pour tout , alors par passage à la limite ?

Oui c'était à peu près ça,  ça ne me serait pas venu à l'esprit de faire tendre vers l'infini qu'une des deux variables de la distance.
Je pense que maintenant c'est bon, je vois comment montrer que f est borné!