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Distance uniforme

Posté par
Vantin 16-09-22 à 14:14

Bonjour, me revoici avec un nouveau problème:

Soit (X,d_X) and (Y,d_Y ) deux espaces métriques avec (Y,dY ) complet.
On rappelle la définition suivante:
Une application  f : X →Y est bornée s'il existe  y \in Y et M \ge 0 tel que that d(f(x),y) \leq M pour tout
x \inX.
Soit B l'ensemble de toutes les fonctions bornées et on définit la norme uniforme comme suit:  d_{\infty}: B\times B \rightarrow \R
f,g\mapsto d_{\infty}(f,g)=\limits_{x\in X}{sup\{d(f(x),g(x))\}

Montrer que (B,d_{\infty}) est un espace métrique complet

J'ai d'abord montré que d_{\infty} est une métrique, ça c'est bon mais pour la complétude j'avoue marcher sur des oeufs.
Voici ce que j'ai fais:
Soit \{f_k\}_{k\in \N} une suite de Cauchy dans  B(X, Y ). Alors \forall x \in X, \{f_k(x)\}_{k\in \N}\ est une suite de Cauchy dans (Y, d_Y) or (Y, d_Y) est complet donc  \{f_k(x)\}_{k\in \N} converge vers  f(x)=\limits{n\mapsto +\infty}{f_n(x)}
Donc pour \epsilon >0, il existe un rang N >0 tel que \forall n \ge N, d_Y(f_n(x),f(x)) < \epsilon
En prenant le sup de chaque côté, on obtient que d_{\infty}(f_n,f) <\epsilon
Donc  \{f_k\}_{k\in \N} converge dans B(X,Y)
Ce qui achève la démonstration  et montre la complétude, est ce que je m'y suis bien pris ?

Posté par
GBZMre : Distance uniforme 16-09-22 à 14:39

Bonjour,

Il y a quelque chose qui manque : la quantification en x. Tel que tu as écrit les choses, le N dépend de x. Tu dois donner explicitement un argument pour le fait que N est uniforme, c.-à-d. qu'il dépend uniquement de {\varepsilon} et pas de x.

Posté par
Vantinre : Distance uniforme 16-09-22 à 14:57

Tu veux dire que j'aurais du écrire:
\forall n \ge N, \forall x \in X, d_Y(f_n(x), f(x)) < \epsilon ?

Posté par
GBZMre : Distance uniforme 16-09-22 à 15:15

Je dis que tu dois donner un argument pour justifier ce que tu viens d'écrire.
En effet, il te faut montrer la convergence uniforme de le suite (f_n) vers f.

Posté par
Vantinre : Distance uniforme 16-09-22 à 16:49

Posté par
GBZMre : Distance uniforme 16-09-22 à 17:05

C'est pourtant clair, non ? Où démontres-tu que ton N ne dépend pas de x ?
Je te vois juste démontrer que \forall x\ \exists N. Je ne vois nulle par d'argument pour \exists N\ \forall x.

Posté par
Vantinre : Distance uniforme 20-09-22 à 18:36

Bon je n'ai pas vraiment compris ce qui n'allait pas alors j'ai tout repris:

Soit (f_n)_{n\in\N} une suite de Cauchy dans B(X, Y).

\forall \epsilon >0, \exists N_{\epsilon}, \forall p > q \ge N_{\epsilon}, d_{\infty}(f_p,f_q) <\epsilon
d_{\infty}(f_p,f_q) <\epsilon \Leftrightarrow \sup_{x \in X}\{ d_Y(f_p(x),f_q(x) )\} < \epsilon

On remarque que \forall x \in X, d_Y(f_p(x),f_q(x) ) \leq  \sup_{x \in X}\{ d_Y(f_p(x),f_q(x) )\} < \epsilon

(f_n(x))_{n\in\N} est une suite de Cauchy dans (Y,D_Y) qui est complet donc(f_n(x))_{n\in\N}  converge.
Ce qui permet de dire que la suite de fonction (f_n)_{n\in\N}  converge simplement sur Y vers
\begin{array}{ccccc} \\ f & : & X & \to & Y \\ \\ & & x & \mapsto & f(x)=\lim_{n\maptso +\infty} f_n(x) \\ \\ \end{array}

Avant de montrer la convergence uniforme vers f, je vais montrer que f se situe là où il faut: f\in B(X,Y)

On a f_n \in B(X,Y) donc \exists y \in Y et M \ge 0 tel que \forall x \in X, d_Y(f_n(x),y) \leq M
De plus, on a que
\forall x \in X, \forall \epsilon >0, \exists N_{\epsilon} >0, \forall m \ge n, d_Y(f_n(x),f(x)) < \epsilon

Donc \forall m \ge n, d_Y(f_n(x),f(x))+ d_Y(f_n(x),y) < \epsilon +M
On utilise la symétrie et l'inégalité triangulaire puisque d_Y est une distance d'où
\forall m \ge n, d_Y(f(x),y) < \epsilon + M donc f est borné

Mais je vois pas comment montrer que d_{\infty}(f_n,f) < \epsilon

Posté par
Ulmierere : Distance uniforme 20-09-22 à 19:05

Ca ne te fait pas réagir d'écrire à plusieurs reprises

\forall m\geqslant n, \text{blabla(m)} avec un blabla(m) qu ne dépend pas de m ?


Pour montrer que f est bornée, commence par montrer que si d est une distance sur un espace métrique E, alors pour tout y\in E, d(\dot, y) est continue ?
Quand tu auras fait ça, il sera trivial de montrer que d(f(x),y) \leqslant M si d(f_n(x), y) à partir d'un certain rang.

Posté par
Ulmierere : Distance uniforme 20-09-22 à 19:08

Corrections:

Citation :
[...]pour tout y\in E, d(\cdot, y) est continue


et

Citation :
[...]trivial de montrer que d(f(x),y) \leqslant M si d(f_n(x), y)\leqslant M

Posté par
Vantinre : Distance uniforme 20-09-22 à 19:10

J'étais pas sur de pouvoir les retirer mais j'ai déjà montré que f est bornée ?

Posté par
Ulmierere : Distance uniforme 20-09-22 à 19:17

Difficile à dire, je ne comprends pas ce que tu essaies de faire avec tes m. De ce que j'en devine et tel que tu l'écris, \varepsilon peut dépendre de x, mais toi tu cherches un majorant M qui ne peut dépendre au pire que de y

Posté par
Vantinre : Distance uniforme 20-09-22 à 19:49

Ah oui je viens de me relire, je me rends compte que c'est pas claire
f_n \in B(X,Y): \exists y \in Y et M \ge 0 tel que \forall x \in X, d_Y(f_n(x),y) \leq M
De plus, on a montré que f_n(x) converge donc:

\forall \epsilon >0  \exists N_{\epsilon} \in \N,  \forall m \ge N_{\epsilon}  d_Y(f_m(x),f(x)) < \epsilon

\forall m \ge n,  d_Y(f_m(x),y) < M + \epsilon \
Là l'idée est de réaliser passage à la limite ( via la continuité de d_Y )  ce qui permet d'obtenir f borné

Posté par
Ulmierere : Distance uniforme 20-09-22 à 20:17

Tu rechutes avec ton m\geqslant n !

Prends tout simplement la valeur particulière \varepsilon = 1, si ce n'est pas clair pour toi

Posté par
Vantinre : Distance uniforme 20-09-22 à 20:28

Là je comprends pas (même en prenant \epsilon = 1), mon expression dépend m pourquoi c'est faux d'utiliser de dire pour tout m>=n :

Posté par
Ulmierere : Distance uniforme 20-09-22 à 21:06

Le problème, c'est que tu essaies de travailler avec des quantifs jusqu'au bout alors que ce n'est pas nécessaire. En plus de ça tu confonds ce que tu poses avec ce qui est vrai pour tout xxx.

Ecris des phrases claires et ta preuve sera claire non seulement pour toi mais pour ton correcteur aussi!


(f_n(x)) est de Cauchy, donc pour \varepsilon = 1 > 0 en particulier, on peut dire qu'il existe N>0 tel que pour tous n,m \geqslant N, d(f_n(x), f_m(x)) < 1.

Soient m et n deux tels entiers.
D'après l'inégalité triangulaire, blabla blabla donc blablabla ce qui montre que d(f(x),y) < \tilde{M} := M+1 pour tout x et donc que f est bornée.

Par pour tout x, j'entends que ni y ni \tilde{M} ne dépendent de x, et que f répond à la définition que tu donnes d'une fonction bornée.

---------


Maintenant méthode rapide : g = d(\cdot, y) est continue donc d(f_n(x),f(x)) \to 0 et g(f_n(x)) = d(f_n(x),y) \leqslant M impliquent que g(f(x)) = d(f(y),y) \leqslant M en passant à la limite en n.

Posté par
Vantinre : Distance uniforme 20-09-22 à 21:28

Le passage où tu as mis des blablabla n'est pas claire pour moi en partant de l'inégalité de Cauchy
Et dans ta méthode, il s'agit bien de d(f(x),y) \leq M et non d'un y?

Posté par
Ulmierere : Distance uniforme 21-09-22 à 00:43

Ben justement c'est la que se cache toute la subtilité de l'exercice.

Chaque f_n est une fonction bornée différente. Donc pour chaque n il existe y_n et M_n tels que d_\infty(f_n, y_n) \leqslant M_n.

Est-ce que (y_n) et sup (M_n) ont une limite compatible avec la limite simple f de (f_n) ?

Posté par
Vantinre : Distance uniforme 21-09-22 à 10:42

Je pense que c'est le cas mais $y_n$ et $M_n$ n'ont pas d'expression, on ne peut pas exprimer leur limite

Posté par
Ulmierere : Distance uniforme 21-09-22 à 12:55

Ce qui nous amène à une autre difficulté, mais pas à cause des expressions. M_n est libre d'être aussi grand qu'il veut et de tendre vers l'infini, ce qui ne fait pas nos affaires.

On sait que pour n donné, l'ensemble A_n = \{(y,M)\in Y\times\R_+^\ast \: : \: d_\infty(f_n, y)\leqslant M\} est non vide.
Soit (y_n,M_n)\in A_n. L'ensemble B(n, y_n) = \{M > 0 : d_\infty(f_n, y_n)\leqslant M\} est non vide et minoré par 0. On peut donc considérer son inf, qu'on notera I(n, y_n).

Soient p,n deux entiers naturels et soit x\in X. L'inégalité triangulaire dit que

\\ \begin{array}{lcl} \\ d_Y(y_{n+p}, y_n) &\leqslant& d_Y(y_{n+p}, f_{n+p}(x)) + d_Y(f_{n+p}(x), f_n(x)) + d_Y(f_n(x), y_n)\\ \\ &\leqslant& d_\infty(y_{n+p}, f_{n+p}) + d_\infty(f_{n+p}, f_n) + d_\infty(f_n, y_n) \\ &\leqslant& I(n+p, y_{n+p}) + d_\infty(f_{n+p}, f_n) + I(n,y_n) \\ \end{array}

Si I(n,y_n) tend vers 0 alors (y_n) est de Cauchy et donc converge ers une limite y.
Par ailleurs, la convergence des I(n, y_n) implique que la suite est bornée donc qu'on peut considérer son sup et le noter M. On aura alors trouvé y et M tels que pour tout n et tout x, on a d_Y(f_n(x),y)\leqslant M. En passant à la limite n\to\infty et en utilisant la continuité de d_Y(\cdot, y) et la convergence des (f_n(x)) vers une limite simple f(x) (car de Cauchy, comme tu l'as déjà remarqué), on arrive enfin à d_Y(f(x),y) \leqslant M, pour tout x, ce qui montre que f est bornée.

Maintenant, il s'agit de trouver une suite (y_n) telle que I(n,y_n) tende vers 0.
Si l'ensemble des I(n,y_n) est borné (supérieurement, dans R+) alors par Bolzano-Weierstrass il y a une sous-suite convergente et on pourra prendre y_{\phi(n)} pour y_n dans ce qui précède.

Posté par
GBZMre : Distance uniforme 22-09-22 à 15:55

Je reviens dans ce fil parce qu'il me semble qu'il s'est enlisé.

@Vantin : tu as démontré que le suite (f_n) converge simplement vers une fonction f.

1°) Commençons par montrer que lz convergence est uniforme sur X. Soit \epsilon >0. Tu sais que comme la suite (f_n) est de Cauchy pour d_\infty, on a :
\exists N\ \forall x\in X\ \forall p> q\geq N\quad d_Y(f_p(x),f_q(x)) <\epsilon\;.
Tu noteras bien que le N est uniforme, il ne dépend pas de x. On obtient alors, en faisant tendre p vers l'infini :
\exists N\ \forall x\in X\ \forall q\geq N\quad d_Y(f(x),f_q(x)) \leq\epsilon\;.
La convergence uniforme est bien établie.

2°) Le fait que la fonction limite f est bornée suit à peu près immédiatement, en utilisant le fait qu'il existe N tel que d_\infty(f,f_N)<1 et que f_N est bornée.

Posté par
Vantinre : Distance uniforme 25-09-22 à 11:18

Hello merci pour vos réponses,
Je ne vous cache pas que j'avais mis cet exercice en pause car j'y ai passé beaucoup de temps sans vraiment que cela claire pour moi même avec votre aide, je vais m'y repencher cette après midi en m'appuyant sur ce que vous m'avez dit !

Posté par
Vantinre : Distance uniforme 25-09-22 à 11:23

Pourquoi a t-on le droit de faire tendre dans notre distance un seul point (la suite de fonction f_p évaluée en x) vers l'infini ? Je vois que cela marche, on a le résultat mais je comprends pas l'idée du raisonnement derrière

Posté par
GBZMre : Distance uniforme 26-09-22 à 09:27

Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas. Qu'est-ce qui te pose problème avec le passage à la limite ?
Tu n'es pas convaincu que puisque d_y(f_p(x),f_q(x))<\epsilon pour tout p>q, alors d_y(f(x),f_q(x))\leq\epsilon par passage à la limite ?

Posté par
Vantinre : Distance uniforme 27-09-22 à 17:52

Oui c'était à peu près ça,  ça ne me serait pas venu à l'esprit de faire tendre vers l'infini qu'une des deux variables de la distance.
Je pense que maintenant c'est bon, je vois comment montrer que f est borné!


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