Niveau LicenceMaths 2e/3e a

distances équivalentes

Posté par
Thomasdxb 26-08-22 à 14:43

Bonjour,

On considère la distance $d_1$ sur $\mathbb{R}$ définie par $d_1(x,y)=|x-y|$ pour tous $x,y\in R$ .
Voici les questions :

1) Montrer que $d=\frac{d_1}{1+d_1}$ est équivalente à $d_1$ .
2) Existe-t-il des réels $a$ et $b$ strictement positifs tels que pour tous $x,y\in R$ , $ad_1(x,y)\le d(x,y)\le bd_1(x,y)$ ?

Déjà, montrer que $d$ et $d_1$ sont équivalentes ne revient-il pas à obtenir la double inégalité de la deuxième question ??

Ensuite, je remarque que pour tous $x,y\in R, d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|} \le |x-y|=d_1(x,y)$ et donc $b=1$ .

Pour la seconde inégalité, je ne vois pas.

Pouvez-vous me guider et m'expliquer la différence entre la première et la seconde question ?

Merci !

Posté par re : distances équivalentes 26-08-22 à 15:05

La question 1) consiste à montrer que $d$ et $d_1$ sont topologiquement équivalentes, c'est-à-dire, définissent les mêmes ouverts. C'est-à-dire encore, que $id: (\R, d) \to (\R,d_1)$ est un homéomorphisme.
Un troisième point de vue, plus simple à mon avis : $d(u_n, x) \to 0$ ssi $d_1(u_n, x)[\to 0/tex]. Ou en mots$ est non seulement un homéomorphisme, mais qu'en plus il est uniformément continue à réciproque uniformément continue.

La question 2) te demande de montrer la variante suivante:
$id: (\R, d) \to (\R,d_1)$ est lipschitzienne à réciproque lipschitzienne.

Il est bien évident que 2) => d et d_1 uniformément équivalentes => d et d_1 topologiquement équivalentes, donc effectivement si tu montrers directement 2), tu auras montré 1) en même temps. Mais ce n'est pas ce que demande ton énoncé

Posté par re : distances équivalentes 26-08-22 à 15:08

Punaise, j'ai foiré mon $\LaTeX$

Citation :

Un troisième point de vue, plus simple à mon avis : $d(u_n, x) \to 0$ ssi $d_1(u_n, x)\to 0$ .
Ou en mots "changer de distance ne change aucune limite de suite".

Deux distances peuvent aussi être, par exemple, uniformément équivalentes si $id: (\R, d) \to (\R,d_1)$ est non seulement un homéomorphisme, mais qu'en plus il est uniformément continu à réciproque uniformément continue.

Posté par re : distances équivalentes 26-08-22 à 15:29

Salut Ulmiere, et merci pour ces précisions !

Bon, finalement, si l'énoncé ne précise rien, c'est qu'il faut comprendre "topologiquement équivalentes"...

Il faut retenir qu'être équivalents implique être topologiquement équivalents mais la réciproque est fausse.
Et qu'être uniformément équivalents implique être topologiquement équivalents.

Pour la question 2, je sèche toujours sur la constante a.
Dans un élan désespéré, j'ai montré que la fonction $t\to \frac{t}{1+t}$ est croissante, mais je ne vois toujours pas si ça peut aider.

Aurais-tu un indice pour moi ?

Posté par re : distances équivalentes 26-08-22 à 15:48

Je cherche et je reposte dans la journée ou demain

Posté par re : distances équivalentes 26-08-22 à 16:18

Citation :
Il faut retenir qu'être équivalents implique être topologiquement équivalents mais la réciproque est fausse.

Non. Il faut comprendre "topologiquement équivalentes" quand on te dit juste "équivalentes" sans autre précision

Citation :
Pour la question 2, je sèche toujours sur la constante a

Et tu peux encore chercher longtemps, puisqu'elle n'existe pas

Suppose trouvée un telle constante a > 0 et regarde ce que devient $\dfrac{d(x,0)}{d_1(x,0)}$ quand $|x|$ tend vers $+\infty$

Posté par re : distances équivalentes 09-09-22 à 05:12

Désolé Ulmière, j'avais pu conclure grâce à tes explications mais je n'avais pas répondu !

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