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Distances topologiquement équivalentes

Posté par
Kernelpanic 11-08-19 à 17:18

Bonjour !

Je progresse à mon rythme dans mon livre de topologie et je me suis rendu aux chapitres sur les écarts/jauges/distances. J'ai bien compris ce que signifiait "deux distances sont topologiquement équivalentes" (elles définissent en réalité la même topologie), mais l'exemple donné dans mon livre me laisse perplexe. Ils emploient une méthode intéressante.

Si d_1, d_2 sont deux distances, on dit qu'elles sont topologiquement équivalentes si id : (X, \mathcal{T}_1) \to (X, \mathcal{T}_2) est bicontinue (avec \mathcal{T}_1 la topologie engendrée par la famille des boules ouvertes pour la distance d_1 etc...) ; je comprends pourquoi donc OK jusque là.

Voici l'exemple :

" X = \R, d_1(x,y) = | x - y | et d_2(x,y) = | Arctg(x) - Arctg (y) | ; la fonction Arctg étant un homéomorphisme

de \R sur ] - \dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} [, on voit que id : (X, \mathcal{T}_1) \to (X, \mathcal{T}_2) est bicontinue."

pourquoi le fait que Arctg soit bicontinue entraine que id soit bicontinue ? Est-ce parce que id = Tan \circ Arctg (et inversement pour la réciproque) tout simplement et que la composée de deux fonctions continues est continue ?

Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
Kernelpanicre : Distances topologiquement équivalentes 11-08-19 à 17:24

Ouhla, je suis sur le livre depuis très tôt ce matin et j'en viens à dire n'importe quoi.

Citation :
Est-ce parce que id = Tan \circ Arctg (et inversement pour la réciproque)


ça n'a rien à voir, je viens de comprendre ce que signifiait que id était bicontinue entre les deux espaces. Néanmoins je ne vois toujours pas le rapport avec l'arctan.

Posté par
WilliamM007re : Distances topologiquement équivalentes 11-08-19 à 18:27

Bonjour,

Soit \varepsilon>0.  Puisque arctan est continue, il existe \delta>0 tel que pour tous x,y\in\R, \vert x-y\vert<\delta\implies\vert\arctan(x)-\arctan(y)\vert\le\varepsilon. Si l'on réécrit en termes de distances d_1 et d_2, on a donc
\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x,y\in\R,d_1(x,y)<\delta\implies d_2(x,y)<\varepsilon,
ce qui est exactement dire que id:(X,\mathcal T_1)\to(X_,\mathcal T_2) est continue.

D'autre part, soit \varepsilon>0.  Puisque tan est continue, il existe \delta>0 tel que pour tous a,b\in\R, \vert a-b\vert<\delta\implies\vert\tan(a)-\tan(b)\vert\le\varepsilon. En particulier pour a=\arctan x et b=\arctan y, on a \vert\arctan(x)-\arctan(y)\vert<\delta\implies\vert x-y\vert<\varepsilon. Si l'on réécrit en termes de distances d_1 et d_2, on a donc
\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x,y\in\R,d_2(x,y)<\delta\implies d_1(x,y)<\varepsilon,
ce qui est exactement dire que id:(X,\mathcal T_2)\to(X_,\mathcal T_1) est continue.

L'application id est donc bicontinue. Si tu regardes la démonstration tu vois que l'on n'a utilisé que trois choses :
1) \arctan est continue ;
2) la bijection réciproque de \arctan existe ;
3) cette bijection réciproque est continue.

Donc en posant d_3(x,y)=d_1(f(x),f(y)) où f:\R\to I est un homéomorphisme de \R sur un intervalle I, la même démonstration montre que d_1 et d_3 sont topologiquement équivalentes. C'est ce que l'auteur a en tête, je pense, lorsqu'il affirme que l'équivalence topologique suit du caractère homéomorphique de \arctan.

Posté par
WilliamM007re : Distances topologiquement équivalentes 11-08-19 à 18:29

EDIT : lire pour tous a,b\in]-\pi,2,\pi/2[ et non pas a,b\in\R dans mon deuxième paragraphe.

Posté par
Kernelpanicre : Distances topologiquement équivalentes 11-08-19 à 18:41

Parfait, merci beaucoup WilliamM007, j'aurais dû penser à revenir à la définition simple de continuité. Tout est compris !

Passe une bonne journée.

Posté par
Camélia Correcteurre : Distances topologiquement équivalentes 12-08-19 à 14:52

Bonjour

Rien à dire sur ce qui précède. Je signale simplement que ceci est un bel exemple de distances topologiquement équivalentes, mais pas métriquement. Un des espaces est complet, mais pas l'autre!


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