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Distributions

Posté par
Rouliane 31-05-07 à 13:45

Bonjour,

Je dois déterminer si les applications suivantes , de D verS R, sont des distributions :

1°) 3$ T(\phi)=\int_0^1 \phi(t)dt

2°) 3$ T(\phi)=\int_0^1 |\phi(t)|dt

3°) 3$ T(\phi)=\sum_{n=0}^{+\infty} \phi^n(0)

Mais j'ai même pas compris ce qu'il fallait faire pour prouver que c'est une distribution ou non.

Pourriez-vous me dire ce qu'il faut faire ?

merci

Posté par
Roulianere : Distributions 31-05-07 à 13:54

il faut que je fasse le rapprochement avec les distributions régulières ?

c'est à dire que j'écrive T(\phi) sous la forme \int f(t)\phi(t)dt ?

Posté par
Cauchyre : Distributions 31-05-07 à 13:59

Salut,

tu dois montrer que c'est des applications linéaires continues de D dans R,donc tu te fixes un compact K,il faut que tu trouves une constante C_k(qui dépend de K) et un entier k(qui dépend de K également) telle que pour toute fonction f à support compact dans K on a:

3$|T(f)| \leq C_K \sum_{|\alpha| \leq k} sup_{x \in K}|\partial^{\alpha} f(x)|

ici on est dans R donc dans la somme c'est les dérivées de f qui interviennent.

Posté par
Cauchyre : Distributions 31-05-07 à 14:03

Pour la 1),ca va être assez rapide,par quoi tu peux majorer?

Posté par
Roulianere : Distributions 31-05-07 à 14:10

salut,

Je ne vois pas du tout comment gérer cette somme de sup

Posté par
Roulianere : Distributions 31-05-07 à 14:17

je crois que je vois, on a pour le 1) |T(f)| \le ||f|| non ?

Posté par
Cauchyre : Distributions 31-05-07 à 14:17

En fait ca fait un peu peur vu comme ca,mais l'idée c'est de faire intervenir le sup de f et de ses dérivées.

Pour le 1),tu as une intégrale sur [0,1] de f,il faut pas aller chercher loin la ,le sup de f suffit.

Posté par
Cauchyre : Distributions 31-05-07 à 14:19

Oui et tu remarques qu'ici la constante et l'entier où l'on s'arrete ne dépend pas du compact dans lequel f a son support.

On dit qu'on a une distribution d'ordre fini.

P.S:c'est moi qui t'ai répondu sur l'autre forum

Posté par
Roulianere : Distributions 31-05-07 à 14:19

ici, on a donc C_K=1 et k=0 c'est ça ?

Posté par
Cauchyre : Distributions 31-05-07 à 14:20

C'est cela même

Posté par
Roulianere : Distributions 31-05-07 à 14:23

merci.

Sur l'autre forum, tu es Thebridge c'est ça ?

sinon, on pouvait pas faire le rapprochement, pour le 1°) en posant 3$ T(f)=\Bigint_{\mathbb{R}} 1_{[0,1]}f(t)dt car l'indicatrice est locallement sommable.

Je dis surement n'importe quoi

Posté par
Roulianere : Distributions 31-05-07 à 14:28

sinon, pour le 2, j'aurais envie d'écrire que |T(f)| \le ||f|| mais je pense que y'a un piège, mais je vois pas pourquoi

Posté par
Cauchyre : Distributions 31-05-07 à 14:29

Citation :
Sur l'autre forum, tu es Thebridge c'est ça ?


Non,Marc

Pour ton truc avec l'indicatrice c'est exactement la même chose noté autrement.

Pour le 2),est-ce bien linéaire?

Posté par
Roulianere : Distributions 31-05-07 à 14:30

non bien sur c'est pas linéaire, chui bete.

merci

Posté par
Roulianere : Distributions 31-05-07 à 14:32

pour le 3ème, il doit y avoir une histoire de convergence non ?

Posté par
Cauchyre : Distributions 31-05-07 à 14:35

Oui il y a une histoire de convergence,imagine que 0 est dans le support de f on peut être mal non?

Posté par
Roulianere : Distributions 31-05-07 à 14:37

oui, la série va diverger, non ?

Mais y'a que ça à dire il faut faire des cas suivant que 0 est dans le support ou pas ?

Posté par
Cauchyre : Distributions 31-05-07 à 14:43

Bien si on trouve une fonction dans D qui fait diverger la série ca ne peut pas être une distribution.

Il n'y a pas que ca à dire,je pense qu'il faut la construire cette fonction(si mon intuition me joue pas de tours )

Posté par
Roulianere : Distributions 31-05-07 à 14:48

ok j'y réfléchirais !

A bientot, je me sauve, et merci !

Posté par
Cauchyre : Distributions 31-05-07 à 14:54

A bientot

Posté par
Roulianere : Distributions 31-05-07 à 22:37

Re,

Alors j'ai trouvé comme fonction pour le 3°) : 3$ \rm f(x)=\{\; 0 si |x| \ge 1 \\ e^{-\frac{1}{1-x^2}} si |x| < 1

f est à support compact ( [-1,1] ) et de classe C^{\infty} si j'ai pas fais d'erreur.
0 est dans le support.

Est-ce correct ?

Posté par
Roulianere : Distributions 01-06-07 à 11:50

Quelqu'un pour me dire si mon exemple est bon ?

Sinon, il me reste à dire si 3$ T(\phi)=\sum_{n=0}^{+\infty} \phi^n(n) est une distribution, là je vois pas du tout.

J'ai l'impression que là ça va pas diverger parce que le support de \phi est compact donc à partir d'un certain n je serai plus dans le support.
Maintenant, je sais pas si c'est correct ce que je dis, et je ne pense pas que ça suffise pour dire si c'est ou non une distribution.

Posté par
Cauchyre : Distributions 01-06-07 à 17:28

Pour ton deuxieme exemple,oui le support va jouer,à partir d'un certain rang les termes vont être nuls dans la somme donc c'est ca qui va faire converger,après il faut rédiger tu te fixes un compact,une fonction a support dedans et regarde comment majorer.

Pour ta fonction,oui elle est à support compact contenant 0,mais est-ce qu'elle fait diverger la série?

Posté par
Roulianere : Distributions 01-06-07 à 22:59

Merci Cauchy. Pour le 2ème, je suis déjà content d'avoir à peu près compris ce qui allait se passer, je vais essayer de rédiger ça.

Conçernant la fonction, j'ai pensé à ça au boulot : rien ne dit qu'elle ne va pas converger.
Il me semble même qu'elle va converger. Mais bon, je sais pas trop comment montrer ça.

Je vais y réfléchir.

Posté par
Cauchyre : Distributions 01-06-07 à 23:12

Calcule les dérivées de ta fonction en 0

Posté par
Roulianere : Distributions 01-06-07 à 23:25

J'ai calculé, je trouve que f^{(2k+1)}(0)=0 et quand c'est pair, je trouve :

f(0)=-1/e
f^{''}(0)=-1/e
f^{(4)}(0)=-1/2e

etc...

Mais je vois pas comment dire si ça converge ou non.

Posté par
Cauchyre : Distributions 01-06-07 à 23:27

Je suis fatigué(très possible) ou je trouve 0 pour toutes les dérivées ?

Posté par
Roulianere : Distributions 01-06-07 à 23:31

tu dois etre fatigué

Posté par
Cauchyre : Distributions 01-06-07 à 23:33

Oui je dis des betises,je trouve -2/e pour f",tu as une formule générale où t'as juste les premiers termes?

Posté par
kaiser Moderateurre : Distributions 01-06-07 à 23:34

Bonsoir à tous

Cauchy > les dérivées en 0 ne peuvent pas être toutes nulles en 0 car la fonction est analytique sur l'intervalle ]-1,1[ et non nulle sur cet intervalle (oui, je sais c'est bourrin comme argument mais ça marche )

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Distributions 01-06-07 à 23:36

Salut kaiser,

oui elle pourrait être constante

Bon je sais pas si ca va marcher avec cette fonction,j'avais une autre idée mais je dirais si ca marche pas

Posté par
Cauchyre : Distributions 01-06-07 à 23:36

Bien passé l'entretien?

Posté par
kaiser Moderateurre : Distributions 01-06-07 à 23:37

Posté par
Roulianere : Distributions 01-06-07 à 23:38

non j'ai juste les premiers termes, mais je sais pas trop comment faire.
Je vais essayer de trouver une formule générale.

Posté par
kaiser Moderateurre : Distributions 01-06-07 à 23:42

Sur le texte, je n'étais pas très inspiré (de la bio). Mais sinon, pour la suite, ça s'est passé sans trop de problème mais bon je ne sais pas...
(bref, je crois que je vais pas mal stressé durant les 17 prochains jours )

et toi ?

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Distributions 01-06-07 à 23:46

Moi aussi de la bio(ADN,me dis pas que t'as encore eu la même chose ),bien la présentation j'ai dit ce que j'ai pu,j'ai parlé du rôle de l'informatique et des maths(pour parler de trucs que je connais un peu ),après bien ils m'ont posé quelques questions plus précises sur le sujet donc j'ai fait comme j'ai pu,j'ai admis quand je comprenais pas sa question sur la phylogénie ou un truc du genre.

Pour la suite,bien oui pas trop de problèmes ils étaient cools(m'ont demandé pourquoi j'ai pas fait de prépa,ce que j'aimais bien en maths,si j'avais fait des projets ....)

Posté par
kaiser Moderateurre : Distributions 02-06-07 à 00:16

Citation :
me dis pas que t'as encore eu la même chose


J'ai bien peur que si !

Kaiser

Posté par
infophilere : Distributions 02-06-07 à 00:25

Hum de la phylogénie et de l'ADN

Salut les gars

J'espère que vos exams se sont bien passés

Posté par
kaiser Moderateurre : Distributions 02-06-07 à 00:26

Sinon, pour revenir au problème initial, je crois qu'on peut trouver un exemple plus bête de fonction telle que la somme diverge.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Distributions 02-06-07 à 00:27

Salut Kévin (les exam c'est pour dans une semaine )

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Distributions 02-06-07 à 00:29

Et bien dites moi,c'est fait exprès ou quoi

J'aurai préféré pas tomber sur la même chose,ils vont pas me prendre

Posté par
Cauchyre : Distributions 02-06-07 à 00:31

Moi j'ai un exemple plus bête,mais si Rouliane y arrive avec celle-ci c'est plus satisfaisant

Kevin,je savais pas le terme phylogénie j'ai du demandé qu'on m'explique quand ils m'ont posé une question

Moi les exams finis aujourd'hui,enfin reste la soutenance de mémoire

Posté par
infophilere : Distributions 02-06-07 à 00:35

Dernier message, je ne vais pas perturber le topic de Rouliane.

Moi première épreuve lundi avec le TP d'SVT, et je sens bien la phylogénie justement (comment ça Cauchy t'as oublié tes cours d'SVT de terminale ? ). Et dernière épreuve le 16 juin

Bonne chance à tous

A+

Posté par
Cauchyre : Distributions 02-06-07 à 00:37

Comment ca,il y avait des cours de SVT en terminale

Bonne chance pour ton bac

Posté par
kaiser Moderateurre : Distributions 02-06-07 à 00:38

On ne dit pas bonne chance mais m**** !
donc m**** à toi aussi !

Kaiser

Posté par
infophilere : Distributions 02-06-07 à 00:39



m**** alors !

Bonne soirée

Posté par
kaiser Moderateurre : Distributions 02-06-07 à 00:39

Posté par
Cauchyre : Distributions 02-06-07 à 00:41

Et bien dis donc pour quelqu'un qui veut pas perturber le topic

Posté par
Roulianere : Distributions 02-06-07 à 00:48

sympas vous avez bien pourri mon topic

Posté par
Cauchyre : Distributions 02-06-07 à 00:53

Une seule chose à faire:préviens un modo

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