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Divergence d'une suite

Posté par
Randome 26-02-17 à 01:01

Bonsoir,

Je dois étudier la convergence de sin(n^3).
Je sais qu'elle diverge dans le sens où elle n'admet pas de limite mais je n'arrive pas à le montrer avec la définition ou avec les suites extraites. Le n^3) dans le sinus me gène.

Quelqu'un aurait une idée? Merci d'avance.

Posté par
Flewerre : Divergence d'une suite 26-02-17 à 02:23

Salut,

Tu dois plutôt montrer la divergence..

Si la suite convergeait, toute sous-suite convergerait vers cette même limite.
Peux-tu trouver 2 sous-suites qui ont deux limites différentes ?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Divergence d'une suite 26-02-17 à 09:13

Sans garantie du bien fondé de la méthode qui suit :

En supposant n dans N :

U(n) = sin(n³)

U(n+1) = sin((n+1)³)

U(n+1) - U(n) = sin((n+1)³) - sin(n³)

U(n+1) - U(n) = 2*cos(((n+1)³+n³)/2) * sin(((n+1)³-n³)/2)

U(n+1) - U(n) = 2*cos((n³+3n²+3n+1+n³)/2) * sin((n³+3n²+3n+1-n³)/2)

U(n+1) - U(n) = 2*cos((2n³+3n²+3n+1)/2) * sin((3n²+3n+1)/2)

Pour que lim(n --> +oo) [cos((2n³+3n²+3n+1)/2)] = 0 , il faudrait que lim(n --> +oo) [(2n³+3n²+3n+1)] = Pi + 2k.Pi ce qui est impossible puisque (2n³+3n²+3n+1) est un entier et (Pi + 2k.Pi) est transcendant.
a
Pour que lim(n --> +oo) [sin(((3n²+3n+1)/2))] = 0 , il faudrait que lim(n --> +oo) [(3n²+3n+1)] = 2k.Pi ce qui est impossible puisque (3n²+3n+1) est un entier et 2k.Pi est transcendant.

Donc il est impossible que lim(n--> +oo) [U(n+1) - U(n)] = 0

Par conséquent la série Un ne converge pas.

Si un vrai matheux peut confirmer ou infirmer la validité de l'approche ... (j'ai un doute)

Posté par
carpediemre : Divergence d'une suite 26-02-17 à 10:46

salut

je ne pense pas que ça aille ...

pour tout réel h > 0

on peut trouver des entiers k et n tels que |n^3 - k \pi| < h <=> |\dfrac {n^3} k - \pi | < \dfrac h k et donc on construit ainsi une sous-suite (u_n) tendant vers 0

on peut trouver des entiers k et n tels que |n^3 - k \dfrac {\pi} 2 | < h <=> |\dfrac {2n^3} k - \pi | < \dfrac {2h} k et donc on construit une sous-suite (u_n) convergeant vers 1

car les rationnels sont denses dans R

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Divergence d'une suite 26-02-17 à 11:29

Salut,

C'est bien vers "quelque chose" comme cela que pointait mon doute.

Posté par
etniopalre : Divergence d'une suite 26-02-17 à 11:30

{ n + 2k    | (n,k)   ² } est dense dans puisque   .
Il en est de même pour  { (n + 2k)3    | (n,k)   ² } puisque x x3 est continue de sur .
  { sin(n + 2k)3    | (n,k)   ² }  est donc dense dans [-1 , +1] puisque sin est continue de sur [-1 , +1] .
Comme  sin((n + 2k)3 = sin(n3) pour tout (n,k)  ,   { sin(n3)    | (n,k)   ² }  est dense dans [-1 , +1]
Avec ça on doit pouvoir prouver que pour tout x [-1 , +1] il existe u : telle que sin ((u(n))3) x .

Posté par
Randomere : Divergence d'une suite 26-02-17 à 12:33

Je comprends pas quand vous parler de densité.  Je n'ai pas vu cette notion.

Posté par
etniopalre : Divergence d'une suite 26-02-17 à 12:36

En license ?

Posté par
Randomere : Divergence d'une suite 26-02-17 à 12:42

Je suis en 2nd semestre de licence 1

Posté par
carpediemre : Divergence d'une suite 26-02-17 à 13:36

on ne peut guère répondre à cette question sans savoir que Q est dense dans R ...

Posté par
Randomere : Divergence d'une suite 26-02-17 à 13:39

L'énoncé demande de montrer la divergence de la suite en utilisant la définition avec le epsilon, le critère de cauchy ou d'autre critère du cours des suites.

Posté par
jarod128re : Divergence d'une suite 26-02-17 à 13:41

Bonjour
une idée sans être sûr que cela aboutisse (sans utiliser la densité)
x_n=cos (n^3)\\y_n=sin(n^3)\\x_{2n}=cos(8n^3)\\y_{2n}=sin(8n^3)
On utilise les formules cos 8x et sin 8x
On suppose X et Y les limites respectives et on essaie de trouver une contradiction avec
X²+Y²=1
Il faut également prouver que si on suppose une des deux suites convergente alors l'autre l'est également. A moins que le carré de l'autre converge suffise ce qui est immédiat.
A creuser.

Posté par
alb12re : Divergence d'une suite 26-02-17 à 15:02

etniopal @ 26-02-2017 à 11:30


Comme  sin((n + 2k)3 = sin(n3) pour tout (n,k)

???

Posté par
etniopalre : Divergence d'une suite 26-02-17 à 15:48

Il vaut mieux oublier ce que j'ai écrit !!

Posté par
alb12re : Divergence d'une suite 26-02-17 à 16:28

etniopal est donc un humain

Posté par
Randomere : Divergence d'une suite 26-02-17 à 23:48

Supposons que Lim Sin(n^3) = L

On sait que |Sin(n^3)| \leq 1
donc \forall n, -1 \leq L \leq 1
Donc, avec la continuité de la fonction récripoque du Sinus, on  a:


\lim_{n \to \infty} n^3 = \lim_{n \to \infty} \sin^{-1}(\sin(n^3)) = \sin^{-1}(L)  =/=  +\infty

Est-ce correct?

Posté par
luzakre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 08:23

Bonjour Randome!
Où as-tu défini une fonction réciproque du sinus sur l'ensemble des réels ?

Bonjour à tous !
Soit x_n=\sin(n^3),\;y_n=\cos(n^3) et on suppose x_n convergente, de limite x

On a x_{n+1}-x_{n-1}=2\sin(3n^2+1)\cos(n^3+3n). Je pose u_n=2\sin(3n^2+1),\;v_n=\cos(n^3+3n).
De même y_{n+1}-y_{n-1}=-u_nw_n,\;w_n=\sin(n^3+3n).

Oops ! Je croyais avoir une solution mais...
Je continue quand même en supposant un résultat que certains, peut-être, savent démontrer.
Je suppose donc la suite u_n divergente (voir post suivant)
Il existe alors une suite extraite n\mapsto u_{\alpha(n)} ayant une limite \lambda non nulle (la suite est bornée et admet, au moins, deux valeurs d'adhérence distinctes).
La suite n\mapsto y_{\alpha(n)}^2 converge vers 1-x^2 donc il existe une suite extraite n\mapsto y_{\alpha(\beta(n))} convergente vers \sqrt{1-x^2} (ou l'opposé).
            Parenthèse : soit les y_n sont de signe constant à partir d'un certain rang, soit pour tout rang r il existe des entiers p,q supérieurs à r
              avec y_p\geqslant0,\;y_q\leqslant0 ce qui permet de définir la suite extraite indiquée.

A ce stade on a donc :

x_{\alpha(\beta(n+1))}-x_{\alpha(\beta(n-1))}=u_{\alpha(\beta(n))}v_{\alpha(\beta(n))} et y_{\alpha(\beta(n+1))}-y_{\alpha(\beta(n-1))}=-u_{\alpha(\beta(n))}w_{\alpha(\beta(n))}

Les suites n\mapsto x_{\alpha(\beta(n))},\;n\mapsto y_{\alpha(\beta(n))} étant convergentes et la suite n\mapsto u_{\alpha(\beta(n))} de limite non nulle, on a la convergence vers 0 des suites n\mapsto v_{\alpha(\beta(n))},\;n\mapsto w_{\alpha(\beta(n))} ce qui est impossible puisque la somme des carrés vaut 1.

Posté par
luzakre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 08:36

Ce que je croyais possible pour la divergence des u_n.

Avec la même démarche :
\sin(n+1)^2-\sin(n-1)^2=2\sin(2n)\cos(n^2+1),\;\cos(n+1)^2-\cos(n-1)^2=-2\sin(2n)\sin(n^2+1)

Cette fois, la suite n\mapsto \sin(2n) est bien divergente d'où une contradiction avec la convergence vers 0 de suites extraites de n\mapsto\cos(n^2+1),\;n\mapsto\sin(n^2+1) dont la somme des carrés est1.

Ainsi n\mapsto\sin(n^2),\;n\mapsto\cos(n^2) sont divergentes et ont au moins deux valeurs d'adhérence distinctes.

De là, pour démontrer que la suite n\mapsto\sin(3n^2+1) je coince.
Il y a bien \sin(3n^2+1)=\sin(3n^2)\cos1+\cos(3n^2)\sin1 mais...

On s'en sortirait peut-être par des arguments de densité en montrant qu'il y a une infinité de valeurs d'adhérence pour n\mapsto\sin(n^2)

Posté par
luzakre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 13:11

Je crois que le bestiau a rendu l'âme !
Au lieu de finasser avec des 3n^2,\;3n^2+1 il vallait mieux une attaque directe.

\sin(3(n+1)^2+1)-\sin(3(n-1)^2+1)=2\sin(6n)\cos(3n^2+4) et
\cos(3(n+1)^2+1)-\cos(3(n-1)^2+1)=-2\sin(6n)\sin(3n^2+4)

Puis \sin(6(n+1))-\sin(6(n-1))=2\sin6\,\cos(6n) et \cos(6(n+1))-\cos(6(n-1))=-2\sin6\,\sin(6n)

Si n\mapsto\sin(6n) est convergente on a donc n\mapsto\cos(6n) suite de limite nulle (\sin6\neq0 me paraît raisonnable).
Par conséquent, la suite n\mapsto\sin(6n) a aussi une limite nulle ce qui ne convient pas, pour la somme des carrés.

Alors, si la suite n\mapsto\sin(3n^2+1) est convergente,  la divergence de n\mapsto\sin(6n) implique la convergence vers 0 d'une suite extraite de n\mapsto\cos(3n^2+4).
Et convergence vers 0 d'une suite extraite d'une suite extraite (voir le détail étudié plus haut) de n\mapsto\sin(3n^2+4), impossible.

Merci de signaler les erreurs éventuelles !

Posté par
jsvdbre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 16:17

Bonjour à tous,
@Luzak : j'abonde dans le sens de ton dernier message puisque c'est l'attaque classique pour montrer que s :n \mapsto \sin(n) n'a pas de limite.
Sinon, si on note \ell la limite.
On part de \sin(n+1) - \sin(n-1) = 2.\cos(n).\sin(1) qui tend vers 0.
Si s a une limite alors c : n \mapsto \cos(n) a 0 pour limite (également \sin(1) \neq 0 est raisonnable)
Or \cos(2n) = \cos^2(n) - sin^2(n) et on a à la limite 0 = 0 - \ell^2
Donc \ell = 0.
Dans ce cas en prenant n assez grand \sin^2(n) + \cos^2(n) = 1 n'est plus valable !

Maintenant peut-on conjecturer ceci : Il n'existe aucune suite strictement  croissante d'entier telle sin() soit convergente.

Supposons-le.

Alors en vertu de \sin^2(\varphi_n) + \cos^2(\varphi_n) = 1 on a que \cos^2(\varphi) tend vers 1 - \ell^2

Et donc il existe une sous-suite \phi de \varphi tel que, par exemple, \cos(\phi) tende vers \sqrt {1- \ell^2}

On peut en savoir plus sur \ell : en effet \cos(2\phi) = \sin^2(\phi) - \cos^2(\phi) tend vers 2\ell^2-1

Mais on a aussi 1 + \cos(2.\phi) = 2.\cos^2(\phi) donc 2\ell^2 = 2.(1-\ell^2) d'où \ell^2 = 1/2

Quitte à réextraire, ou faire une étude de signe (4 cas, mais le raisonnement est le même), on peut supposer que \sin (\phi) et \cos(\phi) tendent vers \sqrt 2/2

Arrivé là, je me dis qu'il y a un truc tout bête pour finir, mais vous me connaissez, moi et les trucs tout bête, ça fait deux ... dommage !

Posté par
luzakre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 17:46

Bonsoir !
Tout bête ?
\cos(2\phi)=2\cos^2\phi-1=\red{\cos^2\phi-\sin^2\phi=1-2\sin^2}\phi donc 2(1-\ell^2)-1=1-2\ell^2.
Tu as écrit une formule fausse pour \cos(2\phi)

Posté par
luzakre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 18:17

Mais tu aurais pu aussi utiliser
\sin(2\phi)=2\sin\phi\,\cos\phi d'où \ell=2\ell\sqrt{1-\ell^2) donc \ell\in\{0,\frac{\sqrt3}2\}
\sin(3\phi)=3\sin\phi-4\sin^3\phi : mêmes conclusions
\cos(3\phi)=4\cos^3\phi-3\cos\phi : \ell=1 ou 4\ell^4-8\ell^2+1=0
Bref, des valeurs possibles de \ell, ce qui ne contredit pas l'hypothèse : convergence de \sin(\varphi)

Posté par
luzakre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 18:19

Non, au contraire, tu arrives à des contradictions !

Posté par
luzakre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 18:22

Il y a plein d'erreurs : annuler ces deux derniers posts.

Posté par
jsvdbre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 18:36

Intuitivement, on sent que l'utilisation des formules de trigo va donner des possibilités très différentes pour \ell et ladite limite va changer selon qu'on utilise l'une ou l'autre.
Rien que tes première et troisième lignes semblent déjà donner des valeurs incompatibles.

Posté par
jsvdbre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 18:38

Ah ! zut ! pas vu tes post 18:22 et 18h19 ... donc il faut continuer à creuser dans cette direction.

Posté par
jarod128re : Divergence d'une suite 27-02-17 à 19:16

Pas certain de ta conjecture jsvdb.
Je pense que l'on peut trouver une suite strictement croissante d'entiers x_n tel que \exists k_n,|{x_n-k_n.\pi}| soit une suite décroissante vers 0 . On aura alors le sinus tendre vers 0.
Votre avis?

Posté par
verdurinre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 19:31

jarod128 @ 27-02-2017 à 19:16

Pas certain de ta conjecture jsvdb.
Je pense que l'on peut trouver une suite strictement croissante d'entiers x_n tel que \exists k_n,|{x_n-k_n.\pi}| soit une suite décroissante vers 0 . On aura alors le sinus tendre vers 0.
Votre avis?

Il est certain que c'est possible : on peut trouver des approximations rationnelles de avec n'importe quelle précision.
Par exemple le développement de en fraction continue fourni des suites xn  et kn conforment à tes hypothèses.
Et l'écriture décimale de aussi.

Posté par
jsvdbre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 19:32

Tu penses à ceci j'imagine :

\pi étant irrationnel, il existe une suite de rationnels irréductibles telle \left|\dfrac{p_n}{q_n} - \pi\right| \leq \dfrac{1}{q_n^2}

Cela semble raisonnable : |p_n - q_n.\pi| \leq \dfrac{1}{q_n}

Il reste à voir la suite n \mapsto \sin(p_n) qui tend vers 0 sans problème.

Ok, ça marche !

Posté par
jsvdbre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 19:55

verdurin @ 27-02-2017 à 19:31

Et l'écriture décimale de aussi.

Cela demande à être vérifié car dans ce cas :

|p_n - q_n.\pi| \leq C.q_n.10^{-n} avec C constante.

Mais quel est le comportement de q_n.10^{-n} ?

Posté par
jsvdbre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 19:56

jarod128 @ 27-02-2017 à 19:16

on peut trouver une suite strictement croissante d'entiers x_n tel que \exists k_n,|{x_n-k_n.\pi}| soit une suite décroissante vers 0

Conclusion : oui, mais il ne faut pas prendre n'importe quelle suite ...

Posté par
jarod128re : Divergence d'une suite 27-02-17 à 20:04

Par contre pour en revenir au sujet d'origine, je suis curieux de ce que l'on attendait de Randome en licence 1.

Posté par
verdurinre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 21:33

@jsvdb.
Tu as raison.
Je perd 25 points elo par an en jouant des coups aussi justes que « l'écriture décimale de aussi ».

@jarod128.
Je suis aussi curieux de voir une réponse niveau L1.
Si j'ai bien lu personne n'a même donné une piste à ce niveau.

Posté par
jsvdbre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 22:31

Jouerais-tu aux échecs ?

Posté par
jsvdbre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 22:52

verdurin @ 27-02-2017 à 21:33

Si j'ai bien lu personne n'a même donné une piste à ce niveau.

Si, Luzak 27-02-17 à 13:11, et il est difficile, à mon avis, de faire plus simple.

Posté par
luzakre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 23:34

Désolé, désolé !
Mais j'ai écrit des choses fausses.
Quand la suite extraite n\mapsto y_{\alpha(n)} est convergente, on ne peut pas dire que n\mapsto y_{\alpha(n)+1}-y_{\alpha(n)-1} converge vers 0.
Il aurait fallu prendre n\mapsto y_{\alpha(n+1)}-y_{\alpha(n-1)}.

Il y a peut-être des choses à sortir de mes élucubrations mais il faut revoir cela sérieusement.

Posté par
verdurinre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 23:35

Je joue aux échecs.
Et je ne suis pas convaincu par la démonstration de luzak.
Il y a trop de morceaux à récupérer dans les posts précédents.

Posté par
jsvdbre : Divergence d'une suite 27-02-17 à 23:48

Bon bin au moins on est tous d'accord, le topic repart à 0
On peut partir de là :

Citation :

Montrer que s :n \mapsto \sin(n) n'a pas de limite.
Sinon, si on note \ell la limite.
On part de \sin(n+1) - \sin(n-1) = 2.\cos(n).\sin(1) qui tend vers 0.
Si s a une limite alors c : n \mapsto \cos(n) a 0 pour limite (\sin(1) \neq 0 est raisonnable)
Or \cos(2n) = \cos^2(n) - sin^2(n) et on a à la limite 0 = 0 - \ell^2
Donc \ell = 0.
Dans ce cas en prenant n assez grand \sin^2(n) + \cos^2(n) = 1 n'est plus valable !

Évidemment, si on veut rester niveau L1, il faut forcément trouver quelque chose dans ce goût là et je me rends compte en faisant des paquets de calculs que ce n'est pas évident.
Bon, si personne n'y voit d'inconvénients, je vais ruser via des chemins de traverse. ... bougez pas ... lol

Posté par
luzakre : Divergence d'une suite 11-03-17 à 15:02

Bonjour !
Je me suis permis d'ouvrir un nouveau fil Retour sur la suite  sin(n^3) et pense avoir une solution.
Merci d'y jeter un coup d'œil, vérifier et améliorer.


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