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Diverses questions sur l'analyse numérique
Salut 
Plusieurs questions :
>> La notion de matrice définie positive ou semi-définie positive n'est-elle valable que pour les matrices hermitiennes ?
>> Pour une matrice hermitienne, comment montre-t-on que si le rang de vaut N, alors
est définie positive ?
>> Si je veux utiliser la formule pour calculer la norme de
, faut-il choisir un vecteur
de norme 1 ?
Merci
Salut !
1) en gros oui,(enfin on peut tous de meme la géneraliser a un matrice quelconque en dissant qu'elle est positive si toute ses valeurs propres sont positive...)
2)A*A est toujour semi-défini positive. si A est en plus inversible, alors A*A est aussi inversilbe donc définie positive.
3)je comprend pas la question.
Bonsoir,
pour la troisième, non tu ne peux pas prendre x quelconque parmi les vecteurs de norme =1.
Il faut que tu choisisses Le x de norme 1 (je pense qu'il peut y en avoir plusieurs parfois) telle que son ||Ax|| est le plus grand parmi celui de tous ses autres potes vecteurs de norme =1.
En fait pour être un peu plus clair, pour tout vecteur y tel que ,
, par définition de
,
mais a priori rien ne nous dit qu'il y a égalité.
Bonsoir
Le x de norme 1 (je pense qu'il peut y en avoir plusieurs parfois)
En général, oui. c'est toute la sphère unité. On cherche le max de ||Ax|| sur la sphère unité. Ca revient au max sur tout l'espace vectoriel, puisque tout v est de la forme kx, et que le k s'élimine par le rapport ||Ax||/||x||
Pour la 2, je dirais pour compléter Ksilver:
A* A est semi-définie et positive (pour le démontrer, tu fais X*A*AX = ||AX||22 
0).
Elle a donc toutes ses valeurs propres positives ou nulles.
Donc si le rang de A est n, tu suis le raisonnement de Ksilver et tu as donc que 0 ne peut pas être valeur propre, donc que A*A est définie positive.
Salut les gars !
Merci pour vos réponses.
Donc si le rang de A est n,
En fait je ne vois pas où ça intervient !
Merci ^^
Une matrice de rang n dans un ev de dimension n est inversible: aucun vecteur non nul n'a 0 comme image, c'est a dire il n'y a pas de vecteur propre de valeur propre 0. Donc les valeurs propres , déja positives, sont strictement positives.
OK?
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