Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale ArithmétiqueTopics traitant de Arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Diviseurs d'un nombre

Posté par
Bcarre 04-06-22 à 04:52

Bonjour les ilois
J'ai un soucie:
Le cube d'un nombre entier positif a cinq fois plus de diviseurs que ce nombre entier positif.
Combien de diviseurs possède le carré du nombre de départ?
Pour ma part le carré de ce nombre possède 4 fois plus de diviseurs que le nombre de départ.

Posté par
lakere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 06:15

Bonjour,

Il n'y a aucune raison pour que le nombre de diviseurs du carré soit un multiple du nombre de diviseurs du nombre de départ.
Si a = p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n} (décomposition de a en facteurs premiers), le nombre de diviseurs de a est :

(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_n+1)

Quel est alors le nombre de diviseurs de a^3 ?

Posté par
ty59847re : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 09:44

Quand tu dis que pour toi, un cube possède 4 fois plus de diviseurs que le nombre de départ, je pense que tu fais une erreur.
J'imagine que tu as calculé tout ça pour quelques cas particuliers.
n=2
n3 a 4 diviseurs, .... mais n a 2 diviseurs, pas 1. Et donc pour ce cas particulier, n3 a 2 fois plus de diviseurs que n

Posté par
mathafou Moderateurre : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 10:12

Bonjour,

ty59847 @ 04-06-2022 à 09:44

tu (Bcarre) dis que pour toi, un cube possède 4 fois plus de diviseurs que le nombre de départ,
ce n'est pas ce que dit Bcarre
il dit que si le cube de n a 5 fois plus de diviseurs que n
alors le carré de n en a 4 fois plus (que de n)
c'est au minimum injustifié, sinon faux.
laissons lake poursuivre l'aide...

Posté par
lakere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 14:11

Bonjour à tous,

Je surveille ce sujet (anodin au premier abord mais pas tant que cela) comme le lait sur le feu.
Merci à mathafou qui a écrit :

Citation :
laissons lake poursuivre l'aide...


Nous attendons tous une réaction de Bcarre
  

Posté par
Bcarrere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 16:26

Bonjour Lake,d'abord avec le produit de facteurs premiers de a, j'ai du mal à trouver une situation concrète.
Exemple: a=2³×3²=2×2×2×3×3
Nombre de diviseurs de a égale 3+2=5

Posté par
Bcarrere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 16:30

Si je m'en tiens à la forme que tu donnes du nombre de diviseurs de a, pour a³ on a :
(a1+3)(a-2+3)....(an+3)

Posté par
lakere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 16:44

Non. Avant de t'attaquer à ce genre d'exercice, il y a un  préalable :

Savoir que si la décomposition en facteurs premiers de a  est a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n}, alors le nombre de diviseurs de a que je note d(a) est :

  d(a)=(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_n+1)

Voir ici :

  Avec ton exemple, d(2^3\times 3^2)=d(72)=(3+1)(2+1)=12

Il faut déjà que tu sois convaincu de cela.

Maintenant je réitère ma question :

  a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_n{a_n}

Avec le préalable, on  a :

   d(a)=(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_n+1)

  Que vaut alors d(a^3) ?

Posté par
lakere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 16:46

Une erreur :

  

Citation :
a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n}

Posté par
Bcarrere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 17:12

Oui oui je viens de vérifier ça d(72)=12
d(72)={1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72}

d(a³)=(a1+3)(a2+3)...(an+3)

Posté par
lakere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 17:21

Non :

  Si a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n},  alors :

  a^3=p_1^{3a_1}p_2^{3a_2}\cdots p_n^{3a_n}

que vaut alors d(a^3) ?

Posté par
Bcarrere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 18:11

d(a³)=(3a1+1)(3a2+1)...(3an+1)
Du coup on a
d(a²)=(2a1+1)(2a2+1)...(2an+1)

Et pour revenir à l'exercice je ne vois toujours pas comment m'y prendre?

Posté par
lakere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 18:34

Citation :
d(a³)=(3a1+1)(3a2+1)...(3an+1)


Oui !

Et donc ton énoncé :

  
Citation :
Le cube d'un nombre entier positif a cinq fois plus de diviseurs que ce nombre entier positif.


se traduit par :

  (3a_1+1)(3a_2+1)\cdots (3a_n+1)=5(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_n+1) \\    (1)

Une équation où les inconnues appartenant à \mathbb{N}^* sont non seulement les a_i mais aussi n
A ce stade, il faut "débroussailler".

Ma première réaction a été de constater que le premier membre soit d(a^3) vérifie :

  d(a^3) est, multiple de 5.
  d(a^3)\equiv 1\;\;[3]

qu'on peut résumer à ;

  d(a^3)=5(3k+2) où k\in \mathbb{N}

Autrement dit, les valeurs possibles pour d(a^3) sont :

  10,25,40,55,70, \cdots

  auxquelles correspondent les valeurs de d(a) :

   2,5,8,11,14\cdots

A partir de ceci, tu dois être capable de trouver une solution (via essais/échecs).

Je te fais une confidence : pour d(a^3), 40 est un excellent candidat. Et par suite d(a) vaut 8

Je te demande ici de trouver cette solution.

Mais, vu ton énoncé, on peut/doit conjecturer que cette solution est unique ce qui est vrai. Cela fera l'objet de la suite.

En attendant je te demande de trouver la solution en question (c'est à dire n=? et que valent les n\;\;a_i \\ )

Posté par
lakere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 19:27

Je précise :

Les essais/échecs consistent à tester l'équation (1) :

  

Citation :
(3a_1+1)(3a_2+1)\cdots (3a_n+1)=5(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_n+1)  

Posté par
Bcarrere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 20:28

On prenant d(a³)=40 et d(a)=8
On trouve que d(a²)=15
_d(a³)=70 avec 70=1[3] et d(a)=14
on trouve d(a²)=27.
_En fait que pour tout nombre de diviseurs de a³ on trouve toujours un nombre de diviseurs de a². Je ne sais pas quel critère faut-il choisir une valeur plutôt que telle autre?

Posté par
lakere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 20:44

Citation :
En prenant d(a³)=40 et d(a)=8
On trouve que d(a²)=15
_d(a³)=70 avec 70=1[3] et d(a)=14
on trouve d(a²)=27.


Je ne pense pas, non.

Soit : tu choisis d(a^3)=40 et donc d(a)=8

Ce que je te demande, avec ces hypothèses, ce n'est pas pour l'instant d(a^2) mais l'écriture de a :

  a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n} dans le cas général. (les p_i n'ont aucune importance; juste leur nombre, c'est à dire n est important).
Dans ce cas précis, c'est à dire d(a^3)=40 et d(a)=8, que valent :

   n ? et les n  a_i ?

Je te rappelle qu'il faut tester l'équation (1) :

  
Citation :
(3a_1+1)(3a_2+1)\cdots (3a_n+1)=5(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_n+1)  

Posté par
Bcarrere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 21:24

d(a)=8=2×4=(1+1)(3+1) / n=2
d(a³)=40=2×4×5=(1+1)(3+1)(4+1)
a1=1, a2=3, a3=4 / n=3

(3×1+1)(3×3+1)=40
5(1+1)(3+1)=40

Posté par
Bcarrere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 21:29

Bcarre @ 04-06-2022 à 21:24

d(a)=8=2×4=(1+1)(3+1) / n=2
d(a³)=40=2×4×5=(1+1)(3+1)(4+1)
a1=1, a2=3, a3=4 / n=3

(3×1+1)(3×3+1)=40 bon mais le 4 je sais pas
5(1+1)(3+1)=40

Posté par
lakere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 21:56

Je vois ceci :

Citation :
d(a)=8=2×4=(1+1)(3+1) / n=2


qui signifie :

   a=p_1p_2^3

d'où a^3=p_1^3p_2^9

et donc d(a^3)=(3+1)\times  (9+1)=4\times 10=40

  Ça colle.

Par contre, ceci ne va pas :  

  
Citation :
a1=1, a2=3, a3=4 / n=3


  ce qui signifie que a= p_1p_2^{3}p_3^{4}

et donc que d(a)=(1+1)(3+1)(4+1)=40 alors qu'on veut avoir 8 (tu as confondu d(a) et d(a^3)).

Je retiens que a=p_1p_2^3 est une solution.
Je reviens un  peu plus tard pour montrer qu'elle est unique.

Posté par
lakere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 22:32

Montrons donc que la solution pour a de la forme a=p_1p_2^3 est unique.

On s'occupe d'abord de n :

  Je note (a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_n+1)=\prod_{i=1}^n(a_i+1)

Pour tout i, a_i\geq 1 en sorte que 3a_i+1\geq 2a_i+2.

Supposons que n\geq 3. Alors :

  d(a^3)=\prod_{i=1}^n(3a_i+1)\geq \prod_{i=1}^n(2a_1+2) \\
  
  d(a^3)\geq 2^n\prod_{i=1}^n(a_i+1)\geq 8\prod_{i=1}^n(a_i+1)>5\prod_{i=1}^n(a_i+1)=5d(a) la dernière inégalité étant stricte.

Ce qui prouve que n\leq 2

Si n=1 on a a=p_1^{a_1} et a^3=p_1^{3a_1} qui donne :

  3a_1+1=5(a_1+1) qui n'a pas de solutions dans \mathbb{N}^*

On sait donc maintenant que n=2 et a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}

L'équation imposée par l'énoncé devient :

  (3a_1+1)(3a_2+1)=5(a_1+1)(a_2+1)

qu'on peut écrire sous la forme :
a_1(2a_2-1 )-a_2-2^0

Supposons que a_1  (ou a_2) soit supérieur ou égal à 4 :

   on a a_1(2a_2-1)-a_2-2\geq 4(2a_2-1)-a_2-2

    a_1(2a_2-1)-a_2-2\geq 7a_2-6\geq 1

  et donc a_1(2a_2-1)-a_2-2 ne s'annule pas.

Donc a_1 et a_2 sont inférieurs ou égaux à 3

En résumé, a=p_1^{a_1}p_2^{a_2} avec a_1 et a_2 compris entre 1 et 3

Il est facile de constater que l'unique solution du problème est a=p_1p_2^3

d'où a^2=p_1^2p_2^6 et d(a^2)=21
  

Posté par
lakere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 22:43

Une erreur ici:

  

Citation :
qu'on peut écrire sous la forme :
a_1(2a_2-1 )-a_2-2=0

Posté par
Bcarrere : Diviseurs d'un nombre 04-06-22 à 23:19

Grand merci pour cet aide en général et cette démonstration en particulier

Posté par
Razesre : Diviseurs d'un nombre 05-06-22 à 02:59

Bonsoir,

Pour la résolution de :

(3a_1+1)(3a_2+1)=5(a_1+1)(a_2+1)
On peut procéder ainsi:

(3a_1+1)(3a_2+1)=5(a_1+1)(a_2+1)\Leftrightarrow 4a_1a_2-2a_1-2a_2-4=0\Leftrightarrow (2a_1-1)(2a_2-1)=5

Les solutions doivent vérifier les conditions de divisibilité:
(2a_1-1)\mid 5 et  (2a_2-1)\mid 5

Les seuls diviseurs de 5 dans \mathbb{N^{*}} sont 1 et 5.

a_1 et a_2 jouent des rôles symétriques donc en prenant a_1<a_2; on obtiendra:

\begin{cases}2a_1-1=1 \\2a_2-1=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a_1=1 \\a_2=3 \end{cases}

On obtient les valeurs recherchées pour a_1, a_2


Rechercher
Menu
Espace membre
30 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1724 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !