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Diviseurs d'un polynôme
Posté par Magmaul
Bonjour,
J'ai fait un petit exercice d'algèbre sur l'arithmétique des polynômes, et je souhaiterais avoir une vérification de votre part, s'il vous plait.
L'énoncé est le suivant :
Trouver, dans ℝ[X] puis dans ℂ[X], les diviseurs de X⁴+2X²+1
Voici ma réponse :
On a X⁴+2X²+1 = (X²+1)²
Le polynôme X²+1 n'admet pas de racine réelle, donc dans ℝ[X], les diviseurs de X⁴+2X²+1 sont 1, X²+1 et X⁴+2X²+1
En revanche, X²+1 admet pas deux racine complexes : i et -i
D'où (X²+1)² = ((X-i)(X+i))² = (X-i)²(X+i)²
Or (X-i)²(X+i) = (X-i)(X²+1) = X³-iX²+X-i
Et (X+i)²(X-i) = (X+i)(X²+1) = X³+iX²+X+i
Donc dans ℂ[X], les diviseurs de X⁴+2X²+1 sont 1, X-i, X+i, X²+1, X³-iX²+X-i, X³+iX²+X+i et X⁴+2X²+1
Peut-être ai-je oublié quelques diviseurs ?
Merci d'avance !
Bonjour,
ça me semble parfait. Je crois qu'il y a en plus (X-i)2 et (X+i)2 comme polynômes diviseurs dans 
[X].
Pour tous les trouver, on peut prendre la forme (X-i)2*(X+i)2 = X⁴+2X²+1 et compter les combinaisons des polynômes élémentaires (X-i) et (X+i) dans la partie gauche comme tu le faisais (ici on peut tirer deux fois le même élément contrairement à ce que l'on trouve parfois dans la théorie des ensembles).
En effet, ça se vérifie rapidement. En tout cas la seule combinaison qui redonne le X2 +1 est (X+i)(X-i), toute la difficulté est de prendre toutes les combinaisons sans répéter celles que l'on a déjà écrite dans 
[X].
Merci beaucoup d'avoir montré mon oubli, comme quoi j'ai bien fait de demander vérification.
Et merci aussi à techtask pour votre conseil 
Oui larrech je m'en suis rendu compte après ma première réponse, c'est pour ça que je l'ai notifié juste après
Je vais un peu trop vite dans mes réflexions dès fois