Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Divisibilite

Posté par
kikoking41 26-01-18 à 11:03

Bonjour
On nous demande de montrer que n^3 est toujours  congrus a 0 ou 1 ou -1 mod9
Je peux le montrer en ecrivant n=9k+r avec r allant de 0 a 8 mais peut on trouver une methode plus courte? merci.

Posté par
sanantonio312re : Divisibilite 26-01-18 à 11:14

Bonjour,
Tu peux partir du fait que n= 3k, 3k+1 ou 3k+2

Posté par
kikoking41re : Divisibilite 26-01-18 à 11:31

Merci mais comment les 3k;3k+1 et 3k+2 represente un recouvrement de l'ensemble 9k+r .

Posté par
sanantonio312re : Divisibilite 26-01-18 à 11:35

Quand tu en prends le cube, tu t'aperçois que tu tombe sur
9k', 9k'+1 ou 9k'+8

Posté par
kikoking41re : Divisibilite 26-01-18 à 11:49

Oui merci on gagne le temps et eviter les calculs

Posté par
carpediemre : Divisibilite 26-01-18 à 19:55

salut

on cherche donc le chiffre des unités de n^3 modulo 9 ... donc le chiffre des unités en base 9

or en base 10 le chiffre des unités de n^3 est le chiffre des unités du cube du chiffre des unités de n

9 n'est pas loin de 10 ... on essaie

1^3 \equiv 1  [9] \\ 2^3 \equiv -1 [9] \\ 3^3 ...  trivial \\ 4^3 \equiv 6 \times 4  \equiv 4  [10] ha ça merde (ça n'est pas dans les résultats demandés ....

et on pourrait poursuivre jusqu'à 8 ...

mais bon réfléchissons un peu

tout entier n s'écrit n = 9p + q + r  avec  q \in \{0, 3, 6\} ou q \in \{-3, 0, 3\}  et  r \in \{-1, 0, +1\}

et c'est trivial si r = q = 0

donc n = 9p + q + r = 3k + r

et il suffit de travailler su n modulo 3 pour obtenir n^3 modulo 9

Posté par
kikoking41re : Divisibilite 28-01-18 à 18:58

Merci c'est une tres bonne justification

Posté par
carpediemre : Divisibilite 28-01-18 à 19:21

de rien


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !