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Divisibilité.

Posté par
matheux14
14-01-21 à 23:29

Bonsoir ,

Merci d'avance.

On note 0 , 1 , 2 , ... , 9 , α , β , les chiffres de l'écriture d'un nombre en base 12.

Par exemple : \bar{\beta\alpha7}^{12}=\beta×12²+\alpha×12+7

=11×12²+10×12+7=1711 en base 10.

1) Soit N1 le nombre s'ecrivant en base 12 : N_{1}=\bar{\beta1\alpha}^{12}.

Déterminer l'écriture de N1 en base 10.

2) Soit N2 le nombre s'ecrivant en base 10 :
N2=1131.

Déterminer l'écriture de N2 en base 12.

Dans toute la suite , un entier naturel N s'écrira de manière générale en base 12 : N=\bar{a_{n}...a_{1}a_{0}}^{12}

3-a) Démontrer que : N ≡ a0[12].

b) En déduire un critère de divisibilité par 3 d'un nombre écrit en base 12.

c) À l'aide de son écriture en base 12 , déterminer si N2 est divisible par 3.

Confirmer avec son écriture en base 10.

4-a) Démontrer que : N ≡ an + ... +a1+a0 [11].

b) En déduire un critère de divisibilité par 11 d'un nombre écrit en base 12.

c) À l'aide de son écriture en base 12 , déterminer si N1 est divisible par 11.

Confirmer avec son écriture en base 10.

5) Un nombre N s'écrit \bar{x4y}^{12}.

Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 13.

Réponses

1) N1= β×12²+1×12+α×1

N1= 11×12²+12+10

N1= 1606

2) J'ai effectué la division euclidienne de 1131 par 12 ainsi de suite , jusqu'à ce que le quotient soit nul.

1131 ÷ 12 = 94

--> Reste = 3

94 ÷ 12 =7

--> Reste = 10

7÷12=0

--> Reste = 12

Donc N_{2}=\bar{\beta\alpha3}^{12}.

Mais lorsque j'essaie de reconvertir en base 10 je vois que ce j'ai fait est faux..

Comment est ce que je devrais faire ?

Posté par
phyelec78
re : Divisibilité. 14-01-21 à 23:48

en deux il faut d'abord diviser par 122 (=144), puis diviser le reste par 12

Posté par
matheux14
re : Divisibilité. 14-01-21 à 23:57

D'accord , mais je ne comprends pas pourquoi..

Posté par
matheux14
re : Divisibilité. 15-01-21 à 00:00

Le premier reste vaut 123.. inquiétant

Posté par
phyelec78
re : Divisibilité. 15-01-21 à 00:07

c'est la définition en base 12 un nombre s'écrit sous la forme :Nbase12= b×12²+a×12+c×1

je trouve aussi 123, puis 7, reste 3

par analogie en base 10 on Nbase10=b×10²+a10+c×1 = 2*10² + 5*10+4=254

Posté par
phyelec78
re : Divisibilité. 15-01-21 à 00:08

Oups, je trouve aussi 123 pour le premier reste et 3 pour le deuxième le puis 7 est une erreur de frappe)

Posté par
matheux14
re : Divisibilité. 15-01-21 à 00:16

Les restes sont 123 et 7..

Comment utiliser le ''123'' pour l'écriture ?

Posté par
phyelec78
re : Divisibilité. 15-01-21 à 00:23

1131 ÷ 12 2= 7  Reste =12 3

123 ÷ 12 =10   Reste = 3

1131=7*12 2+10*12+3

Posté par
matheux14
re : Divisibilité. 15-01-21 à 00:28

Ah ok , je vois.

Donc N_{2}=\bar{7\alpha3}^{12}

Posté par
matheux14
re : Divisibilité. 15-01-21 à 00:32

3-a) N=\bar{a_{n}...a_{1}a_{0}}^{12}

N=a_n×12^{n}+...+a_{1}×12^{1}+a_{0}×12^{0}

Posté par
phyelec78
re : Divisibilité. 15-01-21 à 00:38

j'aurais écris

N2=\bar{7  \espace 10 \espace  3}^{12}], qui correspond à la définition N2=\bar{\beta \alpha  3}^{12}] avec \beta=7 et \alpha=10

Posté par
phyelec78
re : Divisibilité. 15-01-21 à 00:39

oui pour le 3a)

Posté par
phyelec78
re : Divisibilité. 15-01-21 à 00:42

Maintenant, je vais me reposer, je regarderai demain ce que tu as posté et te répondrai, si tu vas aussi te reposer, je continuerai demain te répondre.

Posté par
matheux14
re : Divisibilité. 15-01-21 à 00:48

N=an×12ⁿ+...+a1×12+a0×1

N= 12(an×12n-1+...+an-1×12n-2+...+a1)+a0

Or 12 ≡ 0[12]

==> N ≡12(an×12n-1+...+an-1×12n-2+...+a1)+a0[12]

N ≡ 12(an×12n-1+...+an-1×12n-2+...+a1)+a0a0[12]

N ≡ a0[12]

Posté par
matheux14
re : Divisibilité. 15-01-21 à 00:55

3-b) Je ne vois pas ..

Posté par
matheux14
re : Divisibilité. 15-01-21 à 00:55

Ok bonne à vous !

Posté par
matheux14
re : Divisibilité. 15-01-21 à 02:15

3-a) N=\bar{a_{n}...a_{1}a_{0}}^{12}

N=a_{n}×12^{n}+a_{n-1}×12^{n-1}+...+a_{1}×12^{1}+a_{0}×12^{0}

N=12(a_{n}×12^{n-1}+a_{n-1}×12^{n-2}+...+a_{1})+a_{0}

Or 12 ≡ 0[12] donc N ≡ a0[12].

3-b) Un nombre entier N est divisible par 3 si son chiffre a0 des unités en base 12 est divisible par 3.

3-c) On a N_{2}=\bar{7\alpha3}^{12} ; a0=3 ; 3 | 3 ==> N2 est divisible par 3.

4-a) On a : N=\bar{a_{n}...a_{1}a_{0}}^{12}

N=a_{n}×12^{n}+a_{n-1}×12^{n-1}+...+a_{1}×12^{1}+a_{0}×12^{0}

Or 12 ≡ 1[11] , donc \forall n' \in \{1 ; ... ; n\} ,

12ⁿ' ≡ 1 [11]

==> N≡ a_{n}+...+a_{1}+a_{0}[11]

4-b) Un nombre écrit en base 12 est divisible par 11 si la somme de ses chiffres en base 12 est divisible par 11.

4-c) N_{1}=\bar{\beta1\alpha}^{12}

β+1+α = 11+1+10=22.

11 | 22 ==> N1 est divisible par 11.

5) Je me suis trompé en recopiant l'énoncé..

C'est plutôt

Citation :
5) Un nombre N s'écrit \bar{x4y}^{12}.

Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33.


On sait que 33 = 11×3 donc N est divisible par 33 si x+4+y est divisiblepar 11 et y est divisible par 3.

Mais je n'arrive pas à bien exploiter ces deux propriétés..

Posté par
alma78
re : Divisibilité. 15-01-21 à 09:44

Bonjour,

matheux14 @ 14-01-2021 à 23:29


2) Soit N2 le nombre s'ecrivant en base 10 :
N2=1131.
Déterminer l'écriture de N2 en base 12.
Confirmer avec son écriture en base 10.

Réponses
2) J'ai effectué la division euclidienne de 1131 par 12 ainsi de suite , jusqu'à ce que le quotient soit nul.

1131 ÷ 12 = 94
--> Reste = 3

94 ÷ 12 =7
--> Reste = 10

7÷12=0

--> Reste = 12. Non. Le reste est 7.

Donc N_{2}=\bar{\beta\alpha3}^{12}.  Non.  N_{2}=\bar{7\alpha3}^{12}

Mais lorsque j'essaie de reconvertir en base 10 je vois que ce j'ai fait est faux..

Comment est ce que je devrais faire ?


Donc ta démarche est bonne. Le problème est juste la faute sur le dernier reste.

Posté par
alma78
re : Divisibilité. 15-01-21 à 10:04

Bonjour phyelec78

phyelec78 @ 15-01-2021 à 00:38

j'aurais écris

N2=\bar{7  \espace 10 \espace  3}^{12}], qui correspond à la définition N2=\bar{\beta \alpha  3}^{12}] avec \beta=7 et \alpha=10


L'écriture N_{2}=\bar{7\alpha3}^{12} est la bonne. Il ne faut pas écrire le chiffre « 10 » en base 12 mais bien .
De même qu'on écrit A, B, C, D, E, F pour représenter les chiffres au delà de 9 lorsque l'on travaille en base 16 (hexadécimal).

Posté par
alma78
re : Divisibilité. 15-01-21 à 10:50

Bonjour,

matheux14 @ 15-01-2021 à 02:15


5) Je me suis trompé en recopiant l'énoncé..

C'est plutôt
Citation :
5) Un nombre N s'écrit \bar{x4y}^{12}.

Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33.


On sait que 33 = 11×3 donc N est divisible par 33 si x+4+y est divisiblepar 11 et y est divisible par 3.

Mais je n'arrive pas à bien exploiter ces deux propriétés..


x et y sont des entiers compris entre 0 et 11.
Tu as démontré que y doit être divisible par 3. Donc tu peux en déduire les valeurs possibles de y. (Il y en a 4).
Ensuite tu sais que x+4+y doit être divisible par 11. Donc pour chaque valeur de y, tu peux en déduire la valeur de x. N'oublie pas que x < 12.
Tu devrais donc trouver 4 valeurs pour N.

Posté par
phyelec78
re : Divisibilité. 15-01-21 à 13:10


Bonjour alma78,

pour votre poste de 10h, Oups!,bien sur vous avez raison,la fatigue, j'ai bien fait d'aller me reposer.

Cordialement
phyelec78

Posté par
carpediem
re : Divisibilité. 15-01-21 à 18:34

salut

matheux14 @ 14-01-2021 à 23:29

J'ai effectué la division euclidienne de 1131 par 12 ainsi de suite , jusqu'à ce que le quotient soit nul.

1131 ÷ 12 = 94

--> Reste = 3

94 ÷ 12 =7

--> Reste = 10

7÷12=0

--> Reste = 12
je ne comprends pas comment on peut écrire de telles énormités !!

quels que soient les moyens utilisés (calculatrice, cerveau, ...) la division euclidienne :

de 1131 par 12 est l'égalité 1131 = 12 * 94 + 3

de 94 par 12 est l'égalité 94 = 12 * 7 + 10



maintenant quand on écrit proprement les choses alors on a immédiatement :

1131 = 12 * 94 + 3 = 12 * (12 * 7 + 10) + 3 = 12^2 * 7 + 12 * 10 + 3

ce qui donne immédiatement : \bar {1131}^{10} = \bar {7a3}^{12}

Posté par
matheux14
re : Divisibilité. 15-01-21 à 20:32

Je m'explique...

1131 ÷ 12 = 94

--> Reste = 3 car 1131 divisé par 12 = 94,25.

94,25-94=0,25.

D'où le reste de la division de 1131 par 12 est : Reste = 0,25×12=3


94 ÷ 12 =7

--> Reste = 10 car l'entier 94 divisé par 12 = 47/6

(47/6)-7=5/6.

D'où le reste de la division de 1131 par 12 est : Reste = 5/6×12=10



7÷12=0

--> Reste = 7 (erreur de frappe) car 7 divisé par 12 = 7/12.

D'où le reste de la division de 1131 par 12 est : Reste = 7/12×12=7

Posté par
carpediem
re : Divisibilité. 15-01-21 à 21:26

j'ai évidemment compris !!! (ce que tu veux dire)

mais non seulement tu es dans une leçon sur l'arithmétique mais en plus tu parles de division euclidienne !!!

donc autant faire les choses proprement ...

je persiste : écrire 7/12 = 0 est une horreur (qui te conduira très certainement à des déboires par la suite) ...

Posté par
matheux14
re : Divisibilité. 16-01-21 à 06:54

Ah d'accord , finalement j'ai pu terminer l'exo..

Merci

Posté par
carpediem
re : Divisibilité. 16-01-21 à 09:04

de rien



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