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Divisibilité

Posté par
lou1100 31-10-22 à 19:30

Bonjour,
J'ai déjà avancé sur cet exercice mais j'ai besoin d'aide pour les dernières questions.

1) Résoudre dans l'équation 9y^2 - (x+1)^2=32

2)a) Déterminer l'ensemble des diviseurs du nombre 72
b) Soit p un entier naturel, écrire le  nombre p^2-6p-63 sous forme d'une différence de deux entiers naturels, l'un étant un carré parfait, l'autre ne dépendant pas de p. ( aide : forme canonique )
c) en déduire tous les couples ( p;q) de solutions de l'équation p^2-6p-63 = q^2



1) 9y^2-(x+1)^2=32 \\ (3y-x-1)(3y+x+1)=32

On décompose 32 en produit de  2 entiers :
1 x 32; 2 x 16; 4 x 8

On étudie en résolvant des équations
\begin{cases} & \text{ } 3y-x-1= 1 \\ & \text{ } 3y+x+1= 32 \end{cases}

\begin{cases} & \text{ } 3y-x-1= 2 \\ & \text{ } 3y+x+1= 16 \end{cases}

\begin{cases} & \text{ } 3y-x-1= 4 \\ & \text{ } 3y+x+1= 8 \end{cases}

On trouve 3 couples (x;y) :

( \frac{29}{2} , \frac{11}{2}) ( ne peut être solution car ils ne sont pas des entiers naturels.

(6 , 3)

( 1,2)

On admet donc deux couples de solutions : (6 , 3)( 1,2)

2) a) 1;2;3;4;6;8;9;12;18;24;36;72 ( j'hésite à mettre les négatifs )

b) J'ai juste déterminé la forme canonique

(p-3)^2-72


Merci d'avance pour votre aide
lou1100

Posté par
carpediemre : Divisibilité 31-10-22 à 20:26

salut

il te manque trois systèmes : n'oublie pas que 1 * 32 = 32* 1

p^2 - 6p - 63 = q^2 \iff (p - 3)^2 - q^2 = 72

se résout comme en 1/ ...

Posté par
lou1100re : Divisibilité 31-10-22 à 22:27

Je rajoute donc 3 systèmes;

\begin{cases} & \text{ } 3y-x-1= 32 \\ & \text{ } 3y+x+1= 1 \end{cases}

\begin{cases} & \text{ } 3y-x-1= 16 \\ & \text{ } 3y+x+1= 2 \end{cases}


\begin{cases} & \text{ } 3y-x-1= 8 \\ & \text{ } 3y+x+1= 2 \end{cases}

On trouve 3 couples ( x;y)

(-\frac{33}{2} , \frac{11}{2}) ( ne peut être solution car pas entiers naturels )

(- 8, 3) ( ne peut être solution car pas entiers naturels )

(-4 , \frac{5}{3}) ( ne peut être solution car pas entiers naturels )

2)B) p^2-6p-63 <=> (p-3)^2-q^2=72

2)c) (p-3)^2-q^2=72 \\ (p-3-q)(p-3+q) = 72

A l'aide de la question 2)a) on obtient les systèmes suivants :



\begin{cases} & \text{ } p - 3-q= 1 \\ & \text{ } p-3+q=72\end{cases}

ou

\begin{cases} & \text{ } p - 3-q= 2\\ & \text{ } p-3+q=36\end{cases}

ou



\begin{cases} & \text{ } p - 3-q= 3 \\ & \text{ } p-3+q=24\end{cases}

ou

\begin{cases} & \text{ } p - 3-q= 4 \\ & \text{ } p-3+q=18\end{cases}

ou


\begin{cases} & \text{ } p - 3-q= 6 \\ & \text{ } p-3+q=12\end{cases}

ou


\begin{cases} & \text{ } p - 3-q= 8 \\ & \text{ } p-3+q=9\end{cases}

ou

\begin{cases} & \text{ } p - 3-q= 72 \\ & \text{ } p-3+q=1\end{cases}

ou

\begin{cases} & \text{ } p - 3-q= 36\\ & \text{ } p-3+q=2\end{cases}

ou



\begin{cases} & \text{ } p - 3-q= 24 \\ & \text{ } p-3+q=3\end{cases}

ou

\begin{cases} & \text{ } p - 3-q= 18 \\ & \text{ } p-3+q=4\end{cases}

ou


\begin{cases} & \text{ } p - 3-q= 12 \\ & \text{ } p-3+q=6\end{cases}

ou


\begin{cases} & \text{ } p - 3-q= 9 \\ & \text{ } p-3+q=8\end{cases}

On admet les couples ( p;q) suivants

(\frac{79}{2},\frac{71}{2}) ( pas solution car pas entiers naturels)

(22,17)

(\frac{33}{2},\frac{21}{2}) ( pas solution car pas entiers naturels )

(14,7)

(12,3)

(\frac{23}{2},\frac{1}{2}) ( pas solution car pas entiers naturels )

(\frac{79}{2},-\frac{71}{2}) ( pas solution car pas entiers naturels)

(22, -17) ( pas solution car pas entier naturels )

(\frac{33}{2},-\frac{21}{2}) ( pas solution car pas entiers naturels )

(14, -7) ( pas solution car pas entiers naturels )

(12, -3) ( pas solution car pas entiers naturels )

(\frac{23}{2},-\frac{1}{2}) ( pas solution car pas entiers naturels )

Conclusion
Les couples solutions sont donc :
(22,17)  ,(14,7) ,(12,3)

Posté par
carpediemre : Divisibilité 31-10-22 à 22:36

ça me semble correct ...

Posté par
lou1100re : Divisibilité 31-10-22 à 22:55

Super merci pour votre aide !
Je vous souhaite une belle soirée !
( j'ai battu mon record de réactivité pour répondre à cet exercice )
A bientôt !
lou1100

Posté par
carpediemre : Divisibilité 01-11-22 à 09:29

de rien

Posté par
lou1100re : Divisibilité 09-11-22 à 19:35

Bonsoir,
J'ai besoin d'une petite précision
Sommes nous d'accord que la réponse à la question 2)b) est bien
(p-3)^2 - 72
Car j'ai un petit doute que je préfère venir vérifier
Merci d'avance

Posté par
malou Webmasterre : Divisibilité 09-11-22 à 19:38

bonjour
c'est bien ça

Posté par
carpediemre : Divisibilité 09-11-22 à 21:02

au fait un petit complément : je t'ai dit qu'il manquait trois systèmes dans la question 1/ et dans l'absolu c'est vrai !!

mais on pouvait s'en passer en justifiant que les trois que tu as mis sont suffisants

de même en 2/ après justification tu pouvais n'en résoudre que la moitié

je te laisse réfléchir un peu ...


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