Niveau LicenceMaths 2e/3e a

divisibilité

Posté par
Tiantio 07-04-23 à 14:59

Bonjour à tous

Exo : soit $n \in \mathbb{N^{*}}$ et $p \in \matbb{N}$ un nombre premier arbitraire. on pose pour tout $x \in \mathbb{R}$
$f(x)=x^{p-1}\prod_{i=1}^{n}{(x-i)^{p}}$
$0\leq j \leq m$ où m désigne le degré de f et $0\leq k \leq n$

1. Montrer que si $j<p$ et $k>0$ alors $f^{(j)}(k)=0$

2. Montrer que si $j<p-1$ alors $f^{(j)}(0)=0$

3.Montrer que $f^{(p-1)}(0)=(p-1)!(-1)^{np}(n!)^{p}$

4. Montrer que si $j\geq p$ alors $p!$ divise $f^{(j)}(k)$

Voici comment j'ai procédé mais après j'ai du mal à comprendre
$f^{(j)}(k)= (k^{p-1}\prod_{i=1}^{n}{(k-i)^{p}})^{(j)} \\ \\ = \sum_{r=0}^{j}{\binom{j}{r}} (k^{p-1})^{(j-r)}(\prod_{i=1}^{n}{(k-i)^{p}})^{(j)}$

Merci pour vos réponses

Posté par re : divisibilité 07-04-23 à 16:19

Bonjour,
Quelle est la multiplité des racines de $f$ ?
Comment se caractérise la multiplicité d'une racine en termes des dérivées de $f$ ?

Posté par re : divisibilité 07-04-23 à 19:25

les racines de f sont de multiplicité $p$ sauf 0 qui est de multiplicité $p-1$

si $\alpha$ est racine de multiplicité p alors $f'(\alpha)=0$ ... $f^{(p-1)}(\alpha)=0$ et $f^{(p)}(\alpha)\neq 0$

Posté par re : divisibilité 07-04-23 à 20:06

1. comme k est une racine de $f$ de multiplicité $p$ nous avons bien $f^{(j)}(k)=0$ pour $j<p-1$
2. Même raisonnement que la question 1

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