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Divisibilité - Arithmétique

Posté par
barka54
30-12-20 à 17:07

Bonsoir,
Pouvez-vous m'aidez à traiter mon exercice dont l'énoncé est :

Soit m, n deux entiers naturels non nuls et d leur PGCD.
1-on définit m' et n' par m=dm' et n=dn'. Montrer l'existence de deux entiers relatif u et v tel que mu-nv=d.
2- on suppose u et v strictement positifs. Montrer que
 (a^{mn}-1)-(a^{nv}-1)a^{d}=a^{d}-1


1-
m=dm' <=> mu=udm'
n=dn' <=> nv=vdn'
En faisant leur difference, on a
mu-nv=d(um'-vn')
Je n'arrive pas à aboutir à la relation souhaitée ....

Posté par
carpediem
re : Divisibilité - Arithmétique 30-12-20 à 17:24

salut

si d est le pgcd  fe m et et m = dm' et n = dn' quel est le pgcd de m' et n' ?

Posté par
barka54
re : Divisibilité - Arithmétique 30-12-20 à 17:27

le pgcd de m' et n' est 1

Posté par
carpediem
re : Divisibilité - Arithmétique 30-12-20 à 17:29

et alors ?

Posté par
barka54
re : Divisibilité - Arithmétique 30-12-20 à 17:33

um'-vn'=1 ? avec u et -v des entiers.

Posté par
carpediem
re : Divisibilité - Arithmétique 30-12-20 à 17:40

tout à fait !!

et maintenant il suffit de ...

Posté par
barka54
re : Divisibilité - Arithmétique 30-12-20 à 17:46

mu-nv=d(um'-vn') cette relation devient mu-nv=d*1 =d ?

Posté par
carpediem
re : Divisibilité - Arithmétique 30-12-20 à 17:46

tu en doutes ?

Posté par
barka54
re : Divisibilité - Arithmétique 30-12-20 à 17:48

Non pas du tout

Posté par
barka54
re : Divisibilité - Arithmétique 30-12-20 à 18:04

2- j'ai déjà montré cette relation
 (a^{m\red{u}}-1)-(a^{nv}-1)a^{d}=a^{d}-1

Merci @Carpediem

Posté par
carpediem
re : Divisibilité - Arithmétique 30-12-20 à 18:12

de rien



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