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divisibilité d'une suite

Posté par
Mitochondrie
04-04-20 à 12:55

Bonjour,
Dans un exercice, j'ai établi l'égalité un+1un-1 -un2=-(-2)n-1.
On me demande alors de montrer pour tout n>=0 que si d est un diviseur de un et un+1, alors d est une puissance de 2.

A l'aide du théorème de Bézout, j'ai montré que d=-(-2)n-1, mais ça ne répond pas l'énoncé.
Que dois-je appliquer pour montrer que d est de la forme 2m ?
Merci d'avance de vos réponses.

Posté par
larrech
re : divisibilité d'une suite 04-04-20 à 14:16

Bonjour,

Si le membre de gauche est divisible par 2, alors celui de droite...

Posté par
larrech
re : divisibilité d'une suite 04-04-20 à 14:17

Je voulais dire "divisible par d"

Posté par
Mitochondrie
re : divisibilité d'une suite 04-04-20 à 14:29

Certes, -(-2)n-1 est divisble par d mais  finalement on trouve (-1)n*2n-1 = d
Est-ce suffisant pour conclure sachant que d doit être une puissance de 2 ?

Posté par
larrech
re : divisibilité d'une suite 04-04-20 à 18:45

Comme d divise 2^{n-1}, et que 2 est premier, d est nécessairement une puissance de 2 de la forme 2^m avec m\leq n-1

Reste ensuite à évaluer m.

Posté par
Mitochondrie
re : divisibilité d'une suite 04-04-20 à 22:00

Désolé, je ne suis pas sûr de comprendre votre réponse larrech.
On peut aisément montrer que d divise 2n-1 en faisant passer le (-1)n au dénominateur à gauche, ce qui donne un entier par construction.
En revanche, quand vous parlez d'évaluer m, suffit-il de dire que m est compris entre 0 et n-1 ?
Je pense pouvoir conclure de cette manière.
Merci beaucoup de votre aide larrech.

Posté par
carpediem
re : divisibilité d'une suite 04-04-20 à 22:12

salut

franchement !!!

et à quoi sert le théorème de Bézout ?

si d divise a et b il divise toute combinaison linéaire de a et b et c'est plié ...

puisque tout diviseur de -(-2)^n est une puissance de 2 au signe près ...

Posté par
Mitochondrie
re : divisibilité d'une suite 04-04-20 à 22:20

Effectivement, merci carpediem ! C'est une manière plus élégante de montrer ceci, mais je pense privilégier l'autre, puisqu'elle me semble plus appropriée dans le contexte de l'exercice.

Posté par
carpediem
re : divisibilité d'une suite 05-04-20 à 10:02

ça m'étonnerait très certainement ... et c'est une affirmation gratuite ... puisqu'on n'a pas l'énoncé exact et complet ...



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