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Divisibilité dans Z.

Posté par
matheux14
13-12-20 à 21:24

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Déterminer les entiers naturels n pour que 7 divise n³-3n²-2.

Je ne vois pas par où commencer..

Posté par
mathafou Moderateur
re : Divisibilité dans Z. 13-12-20 à 21:28

Bonjour,

au pire tu pourrais commencer par les essayer
n = 0 ?
n = 1 ?
n = 2 ?
etc

quand est il inutile de continuer ? (périodicité ? ou pas ?)

Posté par
matheux14
re : Divisibilité dans Z. 13-12-20 à 21:39

Soit A= n³-3n²-2

Pour n= 0 , A = -2

Pour n=1 , A= -4

Pour n= 2 ,A= -6

Pour n = 3 , A= -2

Donc la période est -2..

Posté par
matheux14
re : Divisibilité dans Z. 13-12-20 à 21:45

Je fais comment ensuite ?

Posté par
matheux14
re : Divisibilité dans Z. 13-12-20 à 22:30

Posté par
mathafou Moderateur
re : Divisibilité dans Z. 13-12-20 à 23:16

non
ce n'est pas parce que tu retrouves la même valeur pour A que c'est la période

la période sur n est à priori 7
pourquoi ?
supposons que pour une certaine valeur n0 de n, A soit divisible par 7

est-ce que pour n = n0+7, A serait aussi divisible par 7 ?
(développer (n0+7)^3 etc)

les congruences peuvent elles aider à quelque chose ?

bon, je quitte pour ce soir

Posté par
matheux14
re : Divisibilité dans Z. 14-12-20 à 07:07

Bonjour ,

Si j'ai bien compris on démontre par récurrence que 7 est la période..

Posté par
carpediem
re : Divisibilité dans Z. 14-12-20 à 08:57

matheux14 @ 13-12-2020 à 21:39

Donc la période est -2..
et en plus une période négative ... alors qu'on travaille sur N ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Divisibilité dans Z. 14-12-20 à 11:53

Bonjour,

1) savoir lire l'énoncé :
Déterminer les entiers naturels n pour que 7 divise P(n) = n^3 - 3n^2 - 2.

ce qui est important est donc de regarder non pas les valeurs de P(n)
mais si oui ou non elle est divisible par 7

2) faire le lien avec les connaissances de cours,
en particulier avec un titre comme "divisibilité dans Z" on doit faire le lien avec

- le reste de la division Euclidienne (par 7)
- les congruences (modulo 7)

on sait bien sur depuis le primaire obtenir le reste d'une division d'un nombre entier par 7 !!
c'est la division "posée" vue à cette époque, en même temps qu'on a appris la table de multiplication par 7,
on appelle ça maintenant à notre niveau "division Euclidienne", mais dans N (on demande "entiers naturels") c'est pareil.

on sait aussi les règles de calul avec les congruences :
que si a ≡ a' [mod 7] et b ≡ b' [mod 7]
alors a + b ≡ a' + b' [mod 7]
et a × b ≡ a' × b' [mod 7]

on en déduit que pour tout polynome P(n) de Z
si n ≡ n' [mod 7] alors P(n) ≡ P(n') [mod 7]

elle vient de là, la périodicité de la liste des restes de P(n) modulo 7
que P(n+7) ≡ P[n] [mod 7] quel que soit n (et quel que soit le polynome)

il suffit donc de calculer les restes de la division de P(n) par 7 pour toutes les valeurs de n de 0 à 6 pour conclure.

ce qu'on appelle un "tableau de congruences"

\begin{array} {|c|c|c|c|} n & n^2 \; {\red \mod 7}& n^3 \; {\red \mod 7}& P(n) \; {\red \mod 7} \\ \hline 0 & 0 & 0 &-2\equiv 5 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1-3-2 = -4 \equiv 3 \\ \hline 2 & 4 & 8\; {\red \equiv 1} & 1-12-2 = -13 \equiv 1 \\ \hline 3 & ... & & \\ \hline ... & ... & & \\ \hline 6 & ... & & \\ \hline \end{array}

Posté par
matheux14
re : Divisibilité dans Z. 14-12-20 à 16:05

La ligne de 3 :  P(n)  [7] = 5

La ligne de 4 : P(n) [7]= 0

La ligne de 5 : P(n) [7]= 6

La ligne de 6 : P(n) [7]=1

Posté par
mathafou Moderateur
re : Divisibilité dans Z. 14-12-20 à 16:11

on écrit P(3) ≡ 5 [mod 7] etc
ou juste P(3) ≡ 5   [7]

écrire P(3) [7] = ... s'est se prendre pour une calculette.

à part ça, oui.

donc conclusion ? pour quelles valeurs de n   P(n) est il divisible par 7 ?

Posté par
matheux14
re : Divisibilité dans Z. 14-12-20 à 16:21

Comme P(4) ≡ 0 [mod 7] , 7 | n³-3n²-2 si n ≡ 4 [4]

Posté par
mathafou Moderateur
re : Divisibilité dans Z. 14-12-20 à 18:09

pourquoi modulo 4 ???

Posté par
matheux14
re : Divisibilité dans Z. 14-12-20 à 18:11

Oups , erreur de frappe

matheux14 @ 14-12-2020 à 16:21

Comme P(4) ≡ 0 [mod 7] , 7 | n³-3n²-2 si n ≡ 4 [7]

Posté par
mathafou Moderateur
re : Divisibilité dans Z. 14-12-20 à 18:26

OK

on peut aussi dire : tous les nombres de la forme 7k+4 k

c'est plus précis que juste n 4 [7] qui inclut des nombres négatifs
or on demande n entier naturel

Posté par
matheux14
re : Divisibilité dans Z. 14-12-20 à 18:40

OK.

Merci



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