Bonjour,
1) savoir lire l'énoncé :
Déterminer les entiers naturels n pour que 7 divise P(n) = n^3 - 3n^2 - 2.
ce qui est important est donc de regarder non pas les valeurs de P(n)
mais si oui ou non elle est divisible par 7
2) faire le lien avec les connaissances de cours,
en particulier avec un titre comme "divisibilité dans Z" on doit faire le lien avec
- le reste de la division Euclidienne (par 7)
- les congruences (modulo 7)
on sait bien sur depuis le primaire obtenir le reste d'une division d'un nombre entier par 7 !!
c'est la division "posée" vue à cette époque, en même temps qu'on a appris la table de multiplication par 7,
on appelle ça maintenant à notre niveau "division Euclidienne", mais dans N (on demande "entiers naturels") c'est pareil.
on sait aussi les règles de calul avec les congruences :
que si a ≡ a' [mod 7] et b ≡ b' [mod 7]
alors a + b ≡ a' + b' [mod 7]
et a × b ≡ a' × b' [mod 7]
on en déduit que pour tout polynome P(n) de Z
si n ≡ n' [mod 7] alors P(n) ≡ P(n') [mod 7]
elle vient de là, la périodicité de la liste des restes de P(n) modulo 7
que P(n+7) ≡ P[n] [mod 7] quel que soit n (et quel que soit le polynome)
il suffit donc de calculer les restes de la division de P(n) par 7 pour toutes les valeurs de n de 0 à 6 pour conclure.
ce qu'on appelle un "tableau de congruences"
 \; {\red \mod 7} \\ \hline 0 & 0 & 0 &-2\equiv 5 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1-3-2 = -4 \equiv 3 \\ \hline 2 & 4 & 8\; {\red \equiv 1} & 1-12-2 = -13 \equiv 1 \\ \hline 3 & ... & & \\ \hline ... & ... & & \\ \hline 6 & ... & & \\ \hline \end{array})