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Divisibilité dans ZZ

Posté par
Elizia
05-11-21 à 11:37

Bonjour,

J'ai un DM sur la divisibilité et j'ai un peu du mal pour le début:

Soient a et b deux entiers relatifs. On pose N= (a+b)^3-a^3-b^3.

1) Montrer que N est divisible par 3.

2) On suppose de plus que a et b sont pairs. Montrer que N est divisible par 24.

Pour la question 1) j'ai fait ceci (je ne suis pas du tout sur):

<=> 3|a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 - b^3

<=> 3|3a^2b + 3ab^2     ( j'ai simplifié

a^3 avec -a^3 et b^3 avec -b^3)

<=> 3|3(a^2 + ab^2)

Avec a=bk j'ai dit:

3(a^2b + ab^2) = 3k

<=> (a^2b +ab^2)=k

Et (a^2b +ab^2) EkZZ donc divisible par 3 ( je pense que c'est faux) et pour la question 2 je suis bloquée pouvez-vous m'aidez?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Divisibilité dans ZZ 05-11-21 à 11:49

Bonjour,
oui pour la 1) plus simplement, tu as montré que N = 3 (a²b+ab²) donc c'est un multiple de 3 et il est donc divisible par 3.

(Et (a^2b +ab^2) EkZZ donc divisible par 3 ) que tu as écris est faux, on ne voit pas de justification d'ailleurs !

2) tu sais que N = 3ab(a+b)
si tu sais que a et b sont pairs, tu peux les écrire a = 2a' et b=2b'
regarde ce que devient N

Posté par
ty59847
re : Divisibilité dans ZZ 05-11-21 à 12:00

Ta réponse commence par le symbole <=>

Ca commence mal.  Ce symbole est un verbe, il se lit 'est équivalent à'.
Une phrase ne peut pas commencer comme ça.

N est donné par une formule un peu compliquée. Essayons de simplifier cette formule (ce que tu as fait).

Etape 1 : on développe (a+b)^3
Etape 2 ; on fait les simplifications, comme tu as fait.
Et on constate que N=3(a^2b+ab^2)  
Les calculs s'arrêtent là. Tu avais trouvé ce résultat, et tu es parti je ne sais où ensuite.

Par hypothèse, a et b sont des entiers, a^2b+ab^2   est donc un entier, et donc N est le produit de 3 par un entier.
Donc N est un multiple de 3.
cqfd.

Posté par
Elizia
re : Divisibilité dans ZZ 05-11-21 à 12:06

Merci Glapion pour votre aide je trouve effectivement un nombre divisible par 24 pour la question2).

Posté par
Elizia
re : Divisibilité dans ZZ 05-11-21 à 12:38

Ty59847 merci, oui c'est vrai c'était après 3|3(a^2b + ab^2) que j'avais des doutes par rapport à la justesse je suis partie dans tout les sens merci pour la correction.



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