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Niveau terminale
DIvisibilité par 3
Posté par Night13
Bonsoir,
Je dois résoudre l'exercice suivant : Soit n un entier nature impair. Montrer que n³+2n est divisible par 3.
Voici comment j'ai procédé :
On doit montrer que n³+2n est divisible par 3, c'est-à-dire que n³+2n = 3k avec k appartenant à N.
n est un entier naturel impair, donc il s'écrit 2k+1.
n³+2n
= (2k+1)³+2(2k+1)
= 8k³+12k²+6k+1+4k+2
=8k³+12k²+10k+3
=3(4k²+1)+8k³+10k
Mais après je ne vois pas trop quoi faire
Ah oui, effectivement, je n'y avais pas pensé.
-k(k²-1) = -k(k+1)(k-1)
Et ensuite je ne sais pas trop.
tu as un produit de trois entiers ... ? (ils ne sont pas quelconques mais ...?)
donc en considérant la division par 3 que peux-tu conclure sur ce produit ?
RAP : un nombre et son opposé ont même diviseur (donc j'aurai considéré k^3 - k pour ne pas m'embêter avec des moins)
k³-k = k(k²-k) = k(k-1)(k+1).
On a un produit de trois entiers consécutifs. Si k est un multiple de 3, alors k est divisible par 3 ?
Night13 @ 20-09-2023 à 20:00
p = k³-k = k(k²-k) = k(k-1)(k+1).
On a un produit de trois entiers consécutifs. ok
Si k est un multiple de 3, alors k est divisible par 3 ? ça c'est une tautologie !!
p = k³-k = k(k²-k) = k(k-1)(k+1).
On a un produit de trois entiers consécutifs. ok
Si k est un multiple de 3, alors k est divisible par 3 ? ça c'est une tautologie !!
si k est multiple de 3 que peut-on dire de p ?
et sinon ? (aide : que se passe-t-il dans la division euclidienne par 3 ?)
p est également un multiple de 3.
Je n'ai pas encore vu la division euclidienne, mais c'est aux restes qu'il faut s'intéresser ?
ben voila ...
et ce n'est pas parce que tu ne l'as pas encore revu que tu ne l'as pas déjà vu (en primaire)
Bonjour à tous,
@tetras,
Merci de laisser demandeur et aidant échanger sans les perturber.
Tu pourras intervenir quand Night13 aura abouti avec l'aide de carpediem, ou d'un autre aidant s'il doit s'absenter.
on peut penser qu'après 
divisibilité par entiers consécutifs qui en est une généralisation il l'a fini puisque c'est la même chose donc je vais tout de même répondre à tetras qui n'a que poser une question et est resté correct et est curieux
penses-tu que écrit tel quel est la somme de deux multiples de 3 ?
Puisqu'on considère que le sujet est terminé pour Night13, je me permets aussi deux remarques :
A quoi sert l'hypothèse n impair dans l'énoncé ?
On peut utiliser cette égalité :
n3+2n = n[(n-1)(n+1)+3]
oui j'avais poursuivi sur l'idée de Night13 qui nécessite soit de considérer une disjonction de cas soit connaitre la propriété utilisée dans le lien
dans tous les cas c'est une conséquence de la propriété de la division euclidienne
ton égalité donne immédiatement le résultat sur le même principe que ce qui est fait dans le lien ...
Bonjour
Nous pouvions voir les choses autrement, qui n'est certes pas (ou plus) enseigné en Terminale. Soit la partie de
, qui lui est équipotente au moyen de la bijection canonique
. Cela étant dit, remarquons que la partie
de
vérifie les deux assertions suivantes :
1)
2)
Raisonnons alors par récurrence.
Trivialement est tel que
qui est bien divisible par
.
Supposons que l'on ait
Comme
et que divise clairement
, ainsi que
en vertu de notre hypothèse de récurrence, il en résulte que
divise
, leur somme, comme attendu.