Bonjour (de nouveau):

J'ai un exercice que j'ai envie de résoudre sans faire la division euclidienne des deux polynômes et sans utiliser le pgcd (du moins directement).

Le voici:
Démontrer que 24x^3+5 et 18x^3+4 sont premiers entre eux.

Résolution:
Si ces deux polynômes sont premiers entre eux, alors le seul élement commun d qui les divise est 1.

Supposons qu'il existe un d entier non nul tel que d | 24x^3+5 e d | 18x^3+4. Ainsi, sur cette hypothèse et par la propriété connue de linéarité ( si d | a et d | b, alors d | au+bv pour n'importe quelle combinaison linéaire au+bv  avec u et u entiers relatifs):

alors d | 3(24x^3+5) -4(18x^3+4) => d | 1

Par conséquent, 1 est l'unique diviseur commun des polynômes. Et donc les 2 polynômes sont premiers entre eux.

Vous me validez le raisonnement? Merci.