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Division euclidienne

Posté par
qilqil
25-10-20 à 17:15

Bonjour à tous,

Voici l'énoncé sur la division euclidienne sur lequel je bloque depuis pas mal de temps...:
Pour n appartenant à N sauf 0, on considère le produit P(n)=(n+1)(n+2)(n+3)...(2n).
Démontrer que pour tout entier naturel n>1, P(n) est divisible par 2^n.


Je ne vois pas par où commencer.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 25-10-20 à 17:20

Bonjour,
Essaie une récurrence...

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 25-10-20 à 17:44

Merci pour votre réponse rapide

Du coup pour l'initialisation, je dois montrer que la propriété est vraie pour n=1.
P(1)= (1+1)(1+2)(1+3)...(2*1)
         = 2*3*4...*2
A ce niveau j'ai le droit de dire que 2*3*4...*2= nombre pair, qui est forcément divisible par 2^1 (donc 2) ?

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 25-10-20 à 18:36

Pour n=1, P(n)=2 (Premier facteur n+1=2. Dernier facteur 2n=2 aussi. Il n'y a qu'un facteur) est bien divisible par 2¹=2

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 25-10-20 à 18:37

Continue pour l'hérédité.

Posté par
flight
re : Division euclidienne 25-10-20 à 19:36

salut

il aurait eté plus avantageux de transformer immediatement le produit :
(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)  en " ce qu'il vaut" pour rendre l'utilisation de la récurrence plus "confortable"

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 26-10-20 à 18:01

En ce qu'il vaut ? Je développe donc l'ensemble du produit ?

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 26-10-20 à 18:14

Pour l'hérédité, j'ai procédé de la manière suivante pour l'instant:

-Supposons qu'il existe un entier n>1 tel que 2^n/P(n)
-Montrons que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que 2^n+1/P(n+1)

Et après...   Je devrais peut-être commencer par écrire P(n+1)= (n+2)(n+3)(n+4)...(2*n+1) ?

(merci encore pour vos réponses )

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 26-10-20 à 18:19

Il existe une "formule" pour calculer le produit des termes d'une suite arithmétique.
Je ne suis pas sûr que ce soit vu au lycée.
Si c'est ce qu'il voulait dire, je préfère laisser flight (que je salue en passant) te guider dans cette voie que je ne maîtrise pas.
Néanmoins

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 26-10-20 à 18:21

Dans l'écriture de Pn+1 il manque le dernier facteur: (2(n+1))=(2n+2)
Tu pourrais te simplifier la tâche en écrivant Pn+1 en fonction de Pn

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 26-10-20 à 18:22

Personnellement mon professeur ne nous a pas encore montré cette formule. Des raisonnements par récurrence j'en ai fait des tas en maths spé, mais là c'est un exercice de maths expertes avec une puissance de n qui m'embrouille...

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 26-10-20 à 18:25

Oups, j'aurais dû écrire P(n) et P(n+1)
Une remarque pour t'aider: si 2ndivise P(n), alors P(n) peut s'écrire 2nQ(n) ou Q(n) est un nombre...

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 26-10-20 à 18:36

D'accord.

-Supposons qu'il existe un entier n>1 tel que 2^n/P(n)
-Montrons que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que 2^n+1/P(n+1)

On sait que: P(n)=2^n*k
                            (n+1)(n+2)(n+3)...(2n)=2^n*k
Du coup là je dois partir de P(n) pour montrer que P(n+1)=  (n+2)(n+3)(n+4)...(2n+2) est vraie.

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 26-10-20 à 18:48

Oui.
On sait que P(n)=2n×k
Tu dois montrer que P(n+1)=2n+1×k'

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 26-10-20 à 18:49

A partir de là je bloque à nouveau

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 26-10-20 à 18:50

D'accord je vais essayer !

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 26-10-20 à 19:02

J'ai essayé de cette façon:

P(n+1)= 2^(n+1)*k'
               = 2^n*2*k'

On sait que P(n)=2^n*k
Le seul moyen que j'ai trouvé : 2^n=P(n)/k (pour remplacer 2^n après dans P(n+1)), mais ça me paraît bizarre...

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 26-10-20 à 19:03

Ca me ferait P(n+1)= P(n)/k*2*k'

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 26-10-20 à 19:04

Sers toi de P(n)=2n×k pour écrire P(n+1)
P(n+1)=P(n)×.....=.....

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 26-10-20 à 19:16

P(n)= 2^n*k
P(n+1)= 2^n*2*k'
               = P(n)*2

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 26-10-20 à 19:18

Non, à la deuxième ligne, tu te sers du resultat à démontrer
Depuis un moment, je te demande d'écrire P(n+1) en fonction de P(n) en te servant de la définition

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 26-10-20 à 19:27

Ah mais oui je suis bête je me suis servie du résultat qu'on doit avoir au final...

Comment je peux décomposer P(n+1) avec P(n) ? Je n'arrive pas à voir ce que je peux mettre en produit à P(n) dans P(n+1)=P(n)*...

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 26-10-20 à 19:32

P(n)=(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)
P(n+1)=(n+2)(n+3)...(2(n+1))
Que vaut P(n+1)/P(n) ?

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 26-10-20 à 19:48

(n+1) ?

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 26-10-20 à 19:53

P(n)=(n+1)(n+2)(n+3)......(2n-2)(2n-1)(2n)
Écris P(n+1) de la même manière (les 3 premiers et les 3 derniers facteurs)
Ensuite, tire un long trait de fraction et mets P(n+1) au numérateur et P(n) au dénominateur.
Regarde les simplifications

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 26-10-20 à 20:01

J'ai (n+4)(2n+1)/(n+1)(2n-2)

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 26-10-20 à 20:05

Et si je simplifie 2n^2+9n+4/2n^2-2

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 26-10-20 à 20:43

Non.
Au numérateur, n+4 se simplifie avec le (n+4) du denominateur (qui y est même si on ne le voit pas)
Au numérateur, il manque (2(n+1))
Au dénominateur, le (2n-2) se simplifie avec le (2n+2) du numérateur (qui y est même si on ne le voit pas)
Pour t'en convaincre, écris P(1), P(2), P(3), P(4)....

Posté par
flight
re : Division euclidienne 27-10-20 à 06:51

Salut, si tu a vu les factorielles, P(n) n est autre que (2n)!/n!  😊

Posté par
flight
re : Division euclidienne 27-10-20 à 06:54

Du coup l hypothèse de départ est on suppose que p(n) =2n. Q est vraie a l'ordre n,  Puis en écrivant p(n+1)=
(2(n+1))!/(n+1)!  Et en manipulant un peut cette expression de sorte à utiliser l 'hypothèse de départ, tu arrivera facilement à montrer que p(n+1)=2n+1.Q

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Division euclidienne 27-10-20 à 08:25

Bonjour,
Petite rectification : p(n+1)=2n+1.T
où T est un entier qui peut être différent de Q.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Division euclidienne 27-10-20 à 08:31

Bonjour,
flight :
il est déconseillé et même de nos jours formellement interdit de donner d'autres pistes et méthodes différentes alors que une est déja en cours

même si on juge "la sienne" meilleure, on s'abstient

tu as déja été averti , puis banni, pour cela
je ne suis pas pour des punitions à tout va mais d'autres modérateurs ne seront peut être pas aussi coulant et augmenteraient la durée de bannissement.

on doit laisser sanantonio312 faire suivre jusqu'au bout la piste déja commencée avec le demandeur, point barre

quand ce sera fini et pas avant tu pourras si tu le souhaites indiquer ta méthode

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Division euclidienne 27-10-20 à 08:59

Bonjour mathafou,
J'en rajoute une couche :
Extrait de Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci :

Citation :
Dans la mesure du possible (c'est à dire sauf abandon manifeste ou erreur), laisser l'aidant qui a pris le sujet en mains mener son aide comme il l'entend. Cela est non seulement une question de politesse, mais également une manière de ne pas perturber le demandeur.
Si on le juge vraiment utile, on peut intervenir en seconde main pour les sujets du supérieur scientifique.

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 27-10-20 à 09:15

Si je l'écris comme ça, es-tu d'accord avec l'écriture? Vois-tu mieux les simplifications?

\dfrac{P(n+1)}{P(n)}=\dfrac{(n+2)(n+3).....(2n-1)(2n)(2n+1)(2(n+1))}{(n+1)(n+2)(n+3).....(2n-1)(2n)}

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 27-10-20 à 12:13

Désolée pour ma réponse tardive j'ai eu un problème de connexion. Ah oui c'est mieux merci ! J'avais oublié les parenthèses pour (2(n+1)). Du coup à la fin il me reste... (2(n+1))/(n+1) ?

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 27-10-20 à 12:21

Du coup P(n+1)=P(n)* (2n+2)/(n+1)

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 27-10-20 à 13:55

Presque
D'une part, tu oublies un terme au numérateur
D'autre part, tu ne vois pas une simplification à faire

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 27-10-20 à 14:40

Au numérateur j'ai oublié 2n+1 ?
Du coup ça me fait (2n+1)(2(n+1))/(n+1)
Aaah on peut enlever (n+1) ? Du coup ça me donnerait 2(2n+1) ?

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 27-10-20 à 14:43

P(n+1)= 2(2n+1)*P(n)
L'hérédité est je pense terminée à ce niveau ?

Si on suppose que P(n) est divisible par 2^n, alors 2P(n) est divisible par 2*2^n=2^n+1, donc 2(2n+1)*P(n) est aussi divisible par 2^n+1.

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 27-10-20 à 16:09

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 27-10-20 à 16:21

Merci beaucoup !!

Posté par
sanantonio312
re : Division euclidienne 27-10-20 à 16:28

De rien. A la prochaine.
Si tu as vu les factorielles, je te suggère de suivre la piste proposée par flight ce matin vers 6h.
Ça pourra être un bon exercice

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Division euclidienne 27-10-20 à 17:37

Bonsoir,
@qilqil,
Je te conseille de reprendre l'exercice dans quelques jours sans regarder la solution.
Commence par refaire la méthode de sanantonio312 pour voir si tu l'as bien assimilée. Regarde ses 2 ou 3 premiers messages si besoin.

Puis essaye la méthode proposée par flight.
N'hésite pas à poser des questions, en restant dans ce même topic, si tu as des difficultés pour l'utiliser.

Bonne soirée à tous

Posté par
qilqil
re : Division euclidienne 27-10-20 à 19:34

Merci à tous pour votre aide Je n'ai pas encore vu les factorielles mais je vais quand même chercher comment marche cette méthode elle a l'air plus rapide.



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