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division euclidienne

Posté par
oumy1
03-10-22 à 00:54

Bonsoir, j'ai un exercice pour un dm et je ne sais pas comment faire pour la question 1) j'ai fait le 2) mais mon résultat est bizarre. Merci d'avance de votre aide.

1) déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que 19 divise n+5.
2) déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que n+5 divise 2n+3
1) je suis bloqué avec le 19

pour le 2) j'ai écrit:

on cherche n tel que:
k

\frac{2n+3}{n+5}= k2n+3=k(n+5)
              2n+3-k(n+5)=0

     2n+3-2(n+5)=2n+3-2n-5=-7


n+5\mid 2n+3\left.\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right\rbrace
n+5\mid n+5\left.\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right\rbrace        n-5/-7

les diviseurs dans de -7 sont: -7;-1;1;7
les valeurs possibles de n+5 sont donc ces valeurs et on a n\begin{Bmatrix} -12;&-6; &-4; &2 \end{Bmatrix}.
Comme on nous demande des entiers naturels -12;-6 et -4 ne conviennent pas .
donc seul 2 convient.


est ce une bonne réponse??
Merci de bien vouloir m'aider

Posté par
ty59847
re : division euclidienne 03-10-22 à 09:05

A un moment, tu as cette ligne : 2n+3-k(n+5)=0
Puis ligne suivante, on voit apparaître :2n+3-2(n+5)
Pourquoi, comment ? Le k s'est transformé en 2.

Puis : 2n+3-2(n+5)=2n+3-2n-5
Comment ????  

Au final, tu dis que n=2 est la seule solution, c'est exact, mais les étapes pour arriver à ça sont fausses.

Pour la 1ère question, peux-tu, par tâtonnement, trouver certaines valeurs de n qui conviennent.  

Posté par
oumy1
re : division euclidienne 03-10-22 à 10:41

Bonjour ty59847 merci de ton intervention.
je ne sais pas comment faire.
n=2 est la bonne solution, j'ai essayé d'appliquer la méthode très furtive que nous avons vu.
peux tu m'aider je ne sais pas faire autrement.

pour le 1) j'ai fait:
on cherche n tel que:
k
19/n+5 n+5=19k n=-5+19k.
de plus -5+19k0 19k 5 k1 (k étant un entier)

donc S=\begin{Bmatrix} -5+19k\mid &k\geq 1\ \end{Bmatrix}
est-ce que c'est bon??

Posté par
ty59847
re : division euclidienne 03-10-22 à 13:13

Pour la 1), ta réponse me convient.

Pour la 2, Le truc qui me choque, c'est  2n+3-2(n+5)=2n+3-2n-5

-10 à la fin, au lieu de -5.
Et du coup, le 2n et le -2n s'annulent, et il reste 3-10, c'est à dire -7.  On retombe sur le -7 que tu as mis.
Tu arrives sur un -7 qui est correct, en passant par 2 erreurs de calcul qui se compensent ; ça me reste en travers de la gorge.

Et l'autre truc que tu n'expliques pas, c'est pourquoi tu remplaces k par 2.
Je ne sais pas comment ton prof a expliqué (la méthode furtive), donc je vais avoir du mal à t'aider. Mais je sais que 2 erreurs successives qui se compensent, c'est quelque chose que je n'aimais pas quand j'étais prof.

Posté par
carpediem
re : division euclidienne 03-10-22 à 18:21

salut

moi itou ... et je ne reviendrai pas sur les remarques de ty59847

tu mélanges en fait deux méthodes qui aboutissent bien sûr à la même conclusion


première méthode

traduction/application de la définition de la proposition "a divise b", ce qui donne:

2n + 3 = k(n + 5) \iff kn + 5k - 2n - 3 = 0  \red (1)

peut tu trouver les entiers a, b et c tels que (1) devienne (k + a)(n + b) = c

puis conclure avec cette même définition


deuxième méthode

application de la propriété "si a divise b et c alors il divise toute combinaison linéaire de b et c

on veut que n + 5 divise 2n + 3
de plus évidemment n + 5 divise n + 5

peux-tu trouver les entiers u et v tels que u(2n + 3) + v(n + 5) soit un entier (une constante numérique) indépendant de n ?

conclure



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