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Division euclidienne dans Z.
Posté par matheux14
Bonjour,
Merci d'avance. 
Effectuer dans la division euclidienne de a par b dans chaque cas :
1) a = -501 et b= 12
2) a= -10 et b=90
3) a=-2018 et b=-2017
4) a=67 et b=90
Réponses
1) a= 12q+r
q le quotient et r le reste.
r= a-12q
r=-501-12q
Or 0 ≤ r < 12
0 ≤ -501-12q < 12
501 ≤ -12q < 513
-501/12 ≥ q > -513/12
-41,75 ≥ q > -42 ,75
Donc q = -42 ==> r= 3.
-501 = 12×(-42)+3
2) -10= 90q +r ==> r=-10-90q.
Or 0 ≤ r < 10
0 ≤ -10-90q < 10
10 ≤ -90 q < 20
-1/9 ≥ q >-2/9
Là q est compris entre -0,22 et -0,11.
Je ne sais pas comment faire
2) -10= 90q +r ==> r=-10-90q.
Or 0 ≤ r < 90
0 ≤ -10-90q < 90
10 ≤ -90 q < 100
-1/9 ≥ q >-10/9
q < 0 ce qui n'est pas normal
3) -2018 = -2017 q+r
r=-2018+2017q
0 ≤ r < 2017
0 ≤ -2018 +2017q < 2017
2018 ≤ 2017q < 4035
2018/2017 ≤ q < 4035 /2017
1,00 ≤ q < 2,00
q= 1 ==> r = -2018+2017×1 = -1
Le passage de
2018/2017 ≤ q < 4035 /2017 à
1,00 ≤ q < 2,00 est faux.
2 018/2017 = 1,0004957858205255 donc q est > 1 (strictement)
Et 4035/2017 = 2.0004957858205255 donc q est 
2 (q peut atteindre la valeur 2)
d'où q=2 et r= ???
4) 67 = 90q+r
r=67-90q
0 ≤ r < 90
0 ≤ 67-90q < 90
-67 ≤ -90q < 23
67/90 ≥ q > -23/90
0,74 ≥ q > -0,25
Donc q=0
r=67
67= 90 × 0 +67