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Dl

Posté par
cobaink 01-03-06 à 11:45

Bonjour

Comment fait on pour trouver un développement limité au voisinnage de 0 a l'ordre 4 de arccos(sin(x)/x)

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Dl 01-03-06 à 12:01

Bonjour cobaink

Tout d'abord, écris le DL de \frac{sin(x)}{x} en 0 à l'ordre 4.
Ensuite, il faut retrouver le DL de Arccos en 1 en se souvenant que \large{Arccos(u)=\bigint_{1}^{u}\frac{-dt}{\sqrt{1-t^{2}}}}

Kaiser

Posté par
cobainkre : Dl 01-03-06 à 16:49

ben justement g fait ca mais je trouve pas du tout le bon résultat. (Si quelqu'un pouvait me détailler la résolution, car la je bloque, je vois pas ou g fait une erreur) Merci

Posté par
cobainkre : Dl 01-03-06 à 17:01

svp

Posté par
kaiser Moderateurre : Dl 01-03-06 à 17:16

Je me rends compte que j'ai dit une grosse bêtise : arccos n'admet même pas de DL à l'ordre 1 (car elle n'y est pas dérivable).

Posté par
cobainkre : Dl 01-03-06 à 17:45

g le résultat mais j'arrive pas a le trouver ( c (\sqrt{3}/3)x - (\sqrt{3}/270)x^3 +o(x^4) )
Aidez moi svp a le trouver
Merci

Posté par
cobainkre : Dl 01-03-06 à 19:13

SVP

Posté par
cobainkre : Dl 02-03-06 à 11:28

comment fait on ce DL svp

Posté par
cobainkre : Dl 02-03-06 à 17:06

svp

Posté par
cobainkre : Dl 02-03-06 à 20:58

help me please

Posté par
cobainkre : Dl 03-03-06 à 11:56

Le développement limité au voisinnage de 0 a l'ordre 4 de arccos(sin(x)/x) svp. Merci d'avance

Posté par
cobainkre : Dl 03-03-06 à 21:23

svp aidez moi a faire ce Dl g interro lundi. Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Dl 03-03-06 à 23:07

Bonsoir cobaink

Tout d'abord, on sait que \Large{\frac{sin(x)}{x}=1-\frac{x^{2}}{6}+\frac{x^{4}}{120}+o(x^{4})}.

Ensuite, pour h positif proche de 0, faisons un développement asymptotique de Arccos(1-h).

\Large{Arccos(1-h)=\bigint_{1}^{1-h}\frac{-dt}{\sqrt{1-t^{2}}}=\bigint_{0}^{h}\frac{du}{\sqrt{1-(1-u)^{2}}}} (en faisant le changement de variables u=1-t)

Or \Large{\sqrt{1-(1-u)^{2}}=\sqrt{2u}\sqrt{1-\frac{u}{2}}}

Pour u voisin de 0, on a \Large{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u}{2}}}=1+\frac{u}{4}+\frac{3}{32}u^{2}+o(u^{2})}

On en déduit que \Large{\frac{1}{\sqrt{2u}\sqrt{1-\frac{u}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2u}}+\frac{\sqrt{u}}{4\sqrt{2}}+\frac{3}{32\sqrt{2}}u^{\frac{3}{2}}+o(u^{\frac{3}{2}})}

Ensuite, il faut montrer que l'on peut intégrer ce développement asymptotique.
Pour les premiers termes, il n'y a pas de problème. C'est pour le "petit o" qu'il y en a un.

On va montrer le résultat suivant :

Soit f une fonction continue et a>-1 telle que f(t)=o(t^{a})(au voisinage de 0), alors \Large{\bigint_{0}^{x}f(t)dt=o(t^{a+1})}(au voisinage de 0).

Preuve :
Fixons \Large{\epsilon >0}.
Nous savons alors qu'il existe \Large{\eta >0} tel que pour tout t inférieur à \Large{\eta} en valeur absolue, \Large{|f(t)|\leq (a+1)\epsilon |t|^{a}} .

Soit x un réel inférieur à \Large{\eta} en valeur absolue.

Alors \Large{|\bigint_{0}^{x}f(t)dt|\leq \bigint_{0}^{|x|}|f(t)|dt\leq \bigint_{0}^{|x|}(a+1)\epsilon t^{a}dt=\epsilon|x|^{a+1}}.
D'où le résultat.

En appliquant ce résultat à notre exemple, on déduit que :

\Large{Arccos(1-h)=\bigint_{0}^{h}(\frac{1}{\sqrt{2u}}+\frac{\sqrt{u}}{4\sqrt{2}}+\frac{3}{32\sqrt{2}}u^{\frac{3}{2}}du)+o(h^{\frac{5}{2}})=\sqrt{2h}+\frac{\sqrt{2}}{12}h^{\frac{3}{2}}+\frac{3\sqrt{2}}{160}h^{\frac{5}{2}}+o(h^{\frac{5}{2}})}

Ensuite, avec \Large{h=\frac{x^{2}}{6}-\frac{x^{4}}{120}}, on poursuit le DL, en utilisant celui de \Large{(1+u)^{a}} à plusieurs reprises.

Kaiser


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