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DL à l'ordre 2 en 0

Posté par
lrousseau 06-10-23 à 13:18

Bonjour à toutes et tous !
Je me permets d'écrire ce message car j'ai effectué un exercice que j'ai à rendre la semaine prochaine pour mon cours d'analyse. Je l'ai résolu mais j'ai l'impression d'avoir obtenu le mauvais résultat, je souhaiterai avoir vos opinions si cela ne vous dérange pas. Voici l'exercice :

Déterminer le DL à l'ordre 2 en 0 de la fonction :

x -> [2ln(1+x)-2tan(x)+sin^2(x)] / [(x^2)*sin^2(x)]

Je me suis donc occupée du numérateur où j'ai calculé le DL de chaque membre,
2ln(1+x) =  2x -x^2 +°(x^2)
-2tan(x) = -2x +°(x^2)
sin^2(x) = x^2 +°(x^2)

La somme était de 0. En continuant avec le dénominateur, le résultat était de 0/x^4.
Je me suis donc dis que je calculerai à l'ordre 4, j'obtiens donc :

2ln(1+n) = 2x -x^2 +2/3*x^3 -1/2*x^4 + °(x^4)
-2tan(x) = -2x -2/3*x^3 + °(x^4)
sin^2(x) = x^2 -1/3*x^4 +°(x^4)

J'obtiens comme somme :
2ln(1+x)-2tan(x)+sin^2(x) = -5/6*x^4 + °(x^4)

Pour le dénominateur :
x^2 * sin^2(x) = x^4 + °(x^4)

Ainsi pour leur quotient, les x^4 se simplifient et j'obtiens comme DL :
-5/6 + °(x^2)

Je ne suis pas sur de mon résultat, si vous avez des remarques/critiques/conseils, je suis preneuse !
En attente de vos réponses.

Posté par
lakere : DL à l'ordre 2 en 0 06-10-23 à 13:30

Bonjour,

Le premier terme  -\dfrac{5}{6} est correct. Mais tu n'es pas allé assez loin (pour l'ordre 2).

Pour information, on obtient :

f(x)=-\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{15}x-\dfrac{17}{30}x^2+o(x^2)

Posté par
lakere : DL à l'ordre 2 en 0 06-10-23 à 16:31

Je précise un peu les choses : que ce soit au numérateur ou au dénominateur, tu dois aller jusqu' à l'ordre 6 :

  N=-\dfrac{5}{6}x^4+\dfrac{2}{15}x^5-\dfrac{13}{45}x^6+o(x^6)

  D=x^4-\dfrac{1}{3}x^6+o(x^6)

La "simplification" par x^4 te permet ensuite d'atteindre l'ordre 2.

Posté par
lakere : DL à l'ordre 2 en 0 07-10-23 à 12:46

Pas beaucoup de nouvelles de lrousseau mais je profite de cette occasion pour poser une question à la cantonade :

On se retrouve ici avec un rapport de DL :

f(x)=\dfrac{-\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{15}x-\dfrac{13}{45}x^2+o(x^2)}{1-\dfrac{1}{3}x^2+o(x^2)}

Quasiment systématiquement, les solutions proposées sont alors d'utiliser le DL de  \dfrac{1}{1+X} où 1+X est le dénominateur pour effectuer ensuite le produit de deux DL.

Je préfère de loin faire directement la division (pas vraiment euclidienne)  des deux polynômes écrits dans l'ordre des puissances croissantes.
Il semblerait que cette technique soit rarement utilisée.
Qu'en pensez-vous ?

Posté par
carpediemre : DL à l'ordre 2 en 0 07-10-23 à 13:03

salut

cette technique bien qu'efficace est rarement utilisée car bien (trop) "technique" et calculatoire : enfin il faut bien poser la division sur sa feuille

la multiplication semple beaucoup plus simple (du point de vu calculatoire) et surtout du point de vu algorithmique


j'en profite pour revenir à l'exercice pour lrousseau (même s'il a disparu) : vu l'imparité des fonctions trigo et du dénominateur un simple calcul mental d'ordre de grandeur d'équivalent du numérateur et surtout du dénominateur montrait immédiatement qu'un ordre 4 était au minimum nécessaire ... et même j'aurai immédiatement pousser à un cran au-dessus donc à l'ordre 6 toujours du fait de l'imparité ...

Posté par
lakere : DL à l'ordre 2 en 0 07-10-23 à 13:38

Merci carpediem.
Je retiens tout de même (et j'en étais convaincu) que c'est une technique "efficace"

Posté par
lrousseaure : DL à l'ordre 2 en 0 07-10-23 à 18:46

Bonjour, Bonjour,
Veuillez excusez mon message tardif.
Merci beaucoup lake pour votre message.
Je vois… il me fallait donc développer à un plus grand ordre.

Pour ce qui est de la technique que vous nous avez écrit, cela nous a été présentée en travaux dirigés . Notre responsable l'utilise très fréquemment. J'essaie donc de l'appliquer lorsque j'exerce mais je ne l'a maîtrise pas assez bien encore.

Enfin carpediem, vous avez raison. Je pense que cela aurait dû m'être évident lorsque je résolvais.

Posté par
lakere : DL à l'ordre 2 en 0 07-10-23 à 20:04

Merci à toi , lrousseau, d'être revenue sur ton fil.
Mais aussi merci pour ceci :

Citation :
Pour ce qui est de la technique que vous nous avez écrit, cela nous a été présentée en travaux dirigés . Notre responsable l'utilise très fréquemment.


En l'occurrence, pour ton exercice, cette méthode n'est pas vraiment avantageuse ; il suffit de multiplier le DL du numérateur par 1{\red +}\dfrac{1}{3}x^2 +o(x^2) pour obtenir le DL final.
Néanmoins, lorsque le DL du dénominateur présente des termes en x,x^2,x^3,\cdots pour un éventuel DL à l'ordre 2,3\cdots ou plus, la méthode de la "division" est tout à fait efficace et ... préférable.


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