salut
DL en 0 a l'ordre n de e^x c'est 1+x+x^2/2!+....+x^n/n!
DL en 0 a l'ordre n+1 de e^x c'est 1+x+x^2/2!+....+x^n/n!+x^(n+1)/(n+1)!

e^x=1+...+x^(n+1)/(n+1)!+x^(n+1)*l(x) ou lim l(x)=0
                             x->0
e^x-x^(n+1)/(n+1)!-(x^(n+1))*l(x)=1+...+x^n/n!
donc e^x*{1-x^(n+1)/[(n+1)!*e^x]-(x^(n+1)*[l(x)/e^x]}=1+...+x^n/n!
donc ln(1+...+x^n/n!)=x+ln(1-x^(n+1)/[e^x*(n+1)!]-(x^(n+1))*h(x)) ou h(x)=l(x)/e^x et h(x)->0 quand x->0
ce qui fait f(x)=x+ln(1-x^(n+1)/[e^x*(n+1)!]-x^(n+1)*h(x))

DL n+1 de ln(1-x^(n+1)/[(n+1)!*e^x]-x^(n+1)*h(x))=-x^(n+1)/(n+1)!-x^(n+1)*i(x)
ou i(x)->0 quand x->0

remarque il suffit de prendre DL 0 de e^x soit 1 car au numerateur on a x^(n+1)

donc DL en 0 a l'ordre (n+1) de f serait x-x^(n+1)/(n+1)!

a verifier et a controler surtout. car si je pense etre sur du resultat je ne suis pas sur de mon raisonnement...

a+

Ah oki pas mal l'astuce... On avait pas fait ce genre d'astuce en cours, mais je l'a comprends c'est l'essentiel.
Soit disant passant, j'ai trouve une autre methode et je trouve le meme resultat donc je pense que l'on peut confirmer que ton raisonnement est bon.
Moi en fait j'ai voulu enlever le DL donc j'ai deriver f, et j'ai chercher un DL d'ordre n de f'. On a facilement: f'(x)= P_n-1(x) / P_n(x) avec P_n(x)= 1 + x + x²/2! + ... + xⁿ/n!
Ainsi, f'(x) = ( P_n(x) - xⁿ/n! ) / P_n(x)
d'ou f'(x)= 1 - xⁿ/n! * 1/P_n(x)
On fait un DL de la fraction a l'ordre 0 (car en multipliant par xⁿ, on gagne n degres) :
f'(x) = 1 - xⁿ/n!*1/(1+(x)) = 1 - xⁿ/n!*(1+(x)) =  1 - xⁿ/n! + xⁿ(x)
En integrant (sans oublier que f(0)=0 ):
f(x) = x - xⁿ⁺¹/(n+1)! + xⁿ⁺¹(x)

Mais bon on retrouve le meme resultat, c'est l'essentiel Merci en tout cas de m'avoir aide

j'avais pense a ca aussi mais je me suis arrete a P(n-1)(x)/P(n)(x)

j'avais pas vu qu'on pouvais remplacer P(n-1)(x) par...

je pense que la tienne est la mieux.

a+